abc猜想

数学猜想

数论中的abc猜想(亦以Oesterlé–Masser猜想而闻名)最先由乔瑟夫·奥斯达利（Joseph Oesterlé）及大卫·马瑟（David Masser）在1985年提出，2012年数学家望月新一声称证明了此猜想。数学家用三个相关的正整数a，b和c（满足a + b = c）声明此猜想（也因此得名abc猜想）。若d是abc不同素因数的乘积，这个猜想本质上是要说d通常不会比c小太多。换句话来说，如果a，b的因数中有某些素数的高幂次，那c通常就不会被素数的高幂次整除。

猜想简介

在我们详细介绍这个猜想之前，先来说一说整数的根数（radical）：，其所有不同素因子（prime factor）的乘积为根数（1的根数为1），记为：。举例说明：

rad(16) = rad(2) = 2，

rad(17) = 17，

rad(18) = rad(2 ⋅ 3) = 2×3 =6 ，

rad(1000000) = rad(2×5) = 2×5 = 10。

引子

设自然数，其中，且（a，b互素）。

一个很显然的结论是两两互素。

仔细考察和的大小关系，很容易发现，绝大多数情况下。而abc猜想要讨论的正是那些例外的情况。

猜想内容

ABC猜想（标准形式）

设，其中，且。，仅存在有限组三元组满足如下不等式：

ABC猜想（等价形式1）

设，其中，且。，，使前述三元组满足

ABC猜想（等价形式2）

设，其中，且。，仅存在有限组三元组满足如下不等式：

很显然，这个等价形式是对标准形式中的不等式两边取对数，然后稍微变形得到的。其中

又被称为的质量。

看几个例子：

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

我们知道，对于一般满足a、b、c为互素正整数，a+b=c的三元组（a，b，c），有c < rad(abc)，此时，

q(a，b，c) < 1，而q>1之情况实属少见，此时这些数的因数中存在着小素数的高次幂。

已知存在无限多的三元组满足a、b、c是互素正整数，a+b=c，而且q(a，b，c)> 1，然而（这个猜想想要表述的就是），在q>1.01，q>1.001，q>1.0001甚至q离1更近时，三元组却是有限多的。要特别说明的是，如果这个猜想是真的，必存在一个三元组使q取到最大值。

1996年，爱伦·贝克提出一个较为精确的猜想，将用取代，其中是的不同质因子的数目。

abc猜想将许多丢番图问题都包含在其中，比如费马大定理。同许多丢番图问题一样，abc猜想完全是一个素数之间关系的问题。斯坦福大学布拉恩·康拉德（Brian Conrad）曾说，“在a、b和a+b的素数因子之间存在着更深层的关联”。

三元组实例

条件ε > 0在此是必要的，因为满足rad(abc)三元组有无限多个。示例如下：

首先我们指出，b可以被9整除：

依据这个事实，我们得到：

当用另一指数替换6n致使b有很大的平方因子，根数与c之间的比率可以任意小。当p是大于2的素数时：

同样地，b可以被p2整除：

我们再一次得到了相似的结果：

下面将给出一组高质量的三元组（其中c的根数相对来说很小）；这个三元组质量为1.6299，这是Eric Reyssat（Lando & Zvonkin 2004, p.137）发现的。

a = 2，

b = 310·109 = 6,436,341，

c = 235 = 6,436,343，

rad(abc) = 15042。

项目内容

ABC@home 是一个由荷兰的一个数学研究院 Mathematical Institute of Leiden University 运作的，基于 BOINC 分布式计算平台的数学类项目，旨在通过搜索满足ABC猜想条件的三元数组获得这些数组的分布从而帮助数学家解决这个猜想。

即它利用分布式计算穷举直到 c<=10的满足ABC猜想条件的 (a,b,c) 三元数组，也就是说满足要求 c=a+b, a质因数的乘积，若有重复的质因数则只取一个。例如，rad(1224)=rad((2^3)*(3^2)*17)=2*3*17=102。

项目通过研究这些三元数组的分布，试图寻找证明ABC猜想这个数学未解问题的方法。如果证明了ABC猜想，就可以部分证明费马-卡特兰 (Fermat-Catalan) 猜想，完全证明 Schinzel-Tijdeman 猜想等等。ABC猜想的具体内容是：对于所有e>0,存在与e有关的常数C(e)，对于所有满足a+b=c,a与b互质的三正整数组(a,b,c),均成立 c<=C(e)((rad(abc))^(1+e))。支持ABC猜想的证据有很多，比如说ABC猜想的多项式版本成立，ABC猜想也蕴含了费马大定理。D. Goldfeld 评价ABC猜想为“丢番图分析（意即系数与解均为整数的方程的分析）领域中最重要的未解决问题”。ABC@home 希望能够通过了解满足条件的三元数组的分布来协助数学家解决ABC猜想。

研究进展

许多数学家都花费了大量的精力试图证明这一猜想。在2007年，在法国数学家吕西安·施皮罗（Lucien Szpiro）在1978年的研究工作的基础之上，首次宣布对abc猜想的证明，但很快就发现证明中存在着缺陷。

2006年，荷兰莱顿大学数学系和荷兰Kennislink科学研究所联合启动了一个BOINC项目名为“ABC@Home”，用以研究该猜想。

2012年8月，日本京都大学数学家Shinichi Mochizuki(望月新一)公布了有关abc猜想（abc conjecture）长达500页的证明。虽然尚未被证实整个证明过程是正确无误的，但包括陶哲轩在内的一些著名数学家均对此给出了正面评价。

研究意义

美国哥伦比亚大学数学家Dorian Goldfeld评价说：“abc猜想如果被证明，将一举解决许多著名的Diophantine问题，包括费马大定理。如果Mochizuki的证明是正确的，这将是21世纪最令人震惊的数学成就之一。”

望月新一的研究工作与前人的努力并没有太多关联。他建立了一套全新的数学方法，使用了一些全新的数学“对象”——这些抽象实体可类比为我们比较熟悉的几何对象、集合、排列、拓扑和矩阵，只有极少的数学家能够完全理解。就如同戈德费尔德所说：“在当今，他是一个完全掌握这套方法的人。”

康拉德认为，这项研究工作“包含着大量的深刻思想，数学界要想完全理解消化需要花很长的时间”。整个证明包含四个长篇论文，每一篇都是建立在之前论文的基础上。“需要花费大量的时间来研读并理解这些深奥的长篇证明，所以我们不能仅仅关注此证明的重要性，更重要的是沿着作者的证明思路进行研究。”

望月新一取得的研究成果使得这一切努力都是值得的。康拉德说：“望月新一曾经成功证明过极为艰深的定理，并且他的论文表达严谨，论述周密。这些都使我们对于成功证明abc猜想充满了信心。”另外，他还补充道，所取得的成绩并不仅限于对此证明的确认。“令人感到兴奋的原因不仅仅在于abc猜想或许已被解决，更在于他所使用的方法和思想将会成为以后解决数论问题的有力工具。”

历史上反直觉的却又被验证为正确的理论，数不胜数。一旦反直觉的理论被证实是正确的，基本上都改变了科学发展的进程。举一个例子：牛顿力学的惯性定律，物体若不受外力就会保持当前的运动状态，这在17世纪无疑是一个重量级的思想炸弹。“物体不受力当然会从运动变为停止”，这是当时的普通人基于每天的经验得出的正常思想。而实际上，这种想法，在任何一个于20世纪学习过初中物理、知道有种力叫摩擦力的人来看，都会显得过于幼稚。但对于当时的人们来说，惯性定理的确是相当违反人类常识的。

ABC猜想之于数论研究者，就好比牛顿惯性定律之于17世纪的普通人，更是违反数学上的常识。这一常识就是：“a和b的质因子与它们之和的质因子，应该没有任何联系。” 原因之一就是，允许加法和乘法在代数上交互，会产生无限可能和不可解问题，比如关于丢番图方程统一方法论的希尔伯特第十问题，早就被证明是不可能的。如果ABC猜想被证明是正确的，那么加法、乘法和质数之间，一定存在人类已知数学理论从未触及过的神秘关联。

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