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C*代数

数学名词

C*代数是巴拿赫代数中的一种特殊代数。

简介
非交换C*代数对应拓扑空间的非交换推广，对非交换C*代数的分类对应代数拓扑的非交换推广。单C*代数完全由其K理论确定。
定义
C*代数是一个巴拿赫*代数，且关于中每个元a满足
性质
以下设为C*代数。
对中每个元a有,
且
同构于的C*子代数
若含单位元，则中任意自伴元x的谱为实的。
若含单位元，B为的C*子代数且含有中单位元。则对B中任意点x，。
若为上另一个巴拿赫代数的范数，且满足。则。这说明一个含对合的复代数只有最多一种方法构造C*代数。
设为交换代数，则中元为正规元。故谱半径r(x)=。
的*同态的范数最多为1。
例子
设为希尔伯特空间，以算子的伴随为对合，上有界算子的集合的子代数若关于范数与对合也是闭的，则为C*代数，称为算子C*代数；
上紧算子的集合为C*代数，但当为无限维时，不含单位元。
若X为紧豪斯多夫空间，以函数的共轭为对合，X上连续函数集C(X)为C*代数；
若(X,Ω,μ)为σ有限测度空间，以函数的共轭为对合，L∞(X,Ω,μ)为C*代数。
若X为非紧的局部紧空间，以函数的共轭为对合，X上在无穷远消失的连续函数集C0(X)为不含单位元的C*代数。
理想与商代数
设A为C*代数，J为A的理想。
1.A为自伴元。
2.商代数A/J为C*代数。
表示
C*代数A的表示为*同态。
定义La:A→A为La(x)=ax。定义为ρ(a)=La。则ρ为左正则表示。
若π有平凡零空间，则称为非退化表示或忠实表示。若无非平凡不变子空间，则称为不可约表示。
设ξ为C*代数的子空间M的一个矢量，若M=[ξ]，则M称为循环子空间，称为循环表示。则为非退化表示，当且仅当能分解为正交循环子空间族。
相关定理
Gelfand-Naimark定理
定义
设A为含单位元的交换C*代数，X=sp(A)为其盖尔范德谱。则盖尔范德映射Γ为A到C(X)的等距*同构。
推导
A中元T=H+iK，其中H与K均为自伴元，故拥有实谱，故Γ(H)与Γ(K)为实的。故有
故Γ为*映射。
由斯通-魏尔斯特拉斯定理，可知Γ为满射。故Γ为等距同构。
综上，Γ为A到C(X)的等距*同构。
若A为不含单位元的交换C*代数，则可推广该定理，只是X改成局部紧豪斯多夫空间，C(X)改为在无穷远处消失的函数代数C0(X)。
谱定理
设为希尔伯特空间，T为中的正规算子，T的谱σ(T)=X。则由T与单位元生成的C*代数为交换代数，且的盖尔范德谱与T的谱拓扑等价，故盖尔范德映射是到C(X)的等距*同构。
谱映射定理
设A为含单位元的C*代数，a为A的正规元，则对C(σ(a))中的每个f，有σ(f(a))=f(σ(a))。
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