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狄利克雷函数

数学名词

狄利克雷函数（英语：Dirichlet function）是定义在实数集R上的有理数集合Q 的特征函数，通常记为 D（x）。该函数以德国数学家狄利克雷的名字命名。狄利克雷函数是一个典型的病态函数，提供了许多反例：它是处处不连续、处处极限不存在的可测函数，黎曼不可积但勒贝格可积，恰好以全体有理数Q 为周期。

定义
狄利克雷函数是定义在实数集上的有理数集的特征函数 ，即
它也可以表示为一个连续函数序列的双重逐点极限：
其中为正整数。
拓扑性质
狄利克雷函数处处不连续：对任意一点，由于有理数和无理数都是稠密的，对的任意开邻域总能找到使得中一个是有理数而另一个是无理数，此时有，是故狄利克雷函数处处不连续。
然而，狄利克雷函数在有理数集或无理数集上的限制都是连续的，因为其限制都是常数。狄利克雷函数是Blumberg定理的典例。
狄利克雷函数是Baire 2类函数，因为它是连续函数序列的双重逐点极限：
其中为正整数。Baire 1类函数只在一个贫集（第一纲集）上不连续，因此狄利克雷函数不是Baire 1类函数。
分析性质
狄利克雷函数在实数集的任意区间上黎曼不可积：它的不连续点集不是勒贝格零测集。
狄利克雷函数在实数集上勒贝格可测且勒贝格可积，积分为0：它是零测集的特征函数。
狄利克雷函数提供了一个反例说明单调收敛定理对于黎曼积分不成立：取有理数集的一个排列并设为排列中前项所组成集合的特征函数，那么是非负、单增、黎曼可积的，但逐点收敛到黎曼不可积的狄利克雷函数。
周期性
狄利克雷函数恰好以全体有理数为周期：这是因为有理数与有理数的和仍为有理数，有理数与无理数的和为无理数；同时任何无理数都不会是狄利克雷函数的周期，否则将产生矛盾。狄利克雷函数提供了没有最小正周期的非常值函数的一个例子，也提供了周期点集为稠密集的非常值函数的一个例子。
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