GB系统

公理系统

GB系统(GB system)是集合论的重要公理系统之一，该系统中有集合与类两个基本概念。用小写英文字母x，y，z，…作为集合变元，用大写英文字母X，Y，Z，…作为类变元，此外，cla(X)与m(X)分别表示X是一类与X是一集合。

基本介绍

GB系统亦称NBG系统。公理集合论系统之一。由冯·诺伊曼在1925年提出，后经贝尔纳斯和哥德尔改进、简化后构成。与公理集合论ZF系统不同，GB系统中既有“集合”又有“类”。集合都是类，但类不都是集合，不是集合的类称为“真类”，真类不能作为类的元素。就有关集合的命题而言，ZF系统和GB系统的推理能力是一样的，GB系统是ZF系统的一个保守的扩充。GB系统与ZF系统是相对一致的，即GB系统是一致的，当且仅当，ZF系统是一致的。

五组公理

GB公理系统的公理分为五组：

A组公理

1.cla(x)(任意集合x都是类)。

2.X∈Y→m(X)(类的任意元都是集合)。

3.(x∈X→x∈Y)→X=Y(类的外延公理)。

4.无序对公理。

B组公理(类的存在公理)

1.存在一类E，它的元素都是有序对集合，并且该有序对的第一元属于第二元。

2.对于任意类X，Y，都有一类Z，它为X和Y的交类。

3.对于任意类X，它的补也是一类。

4.对于任意类X，它的元素中有序对的第一元组成一类。

5.对于任意类X，它的元作为有序对的第一元，而第二元为任意的集合.所有这些有序对组成一类.

6.对于任意类X，它的逆X-1也是一类.X-1是这样定义的：〈S1，S2〉∈X当且仅当〈S2，S1〉∈X-1。

7.对于类X，存在类Y，使得对任意〈x，y，z〉∈X，当且仅当〈y，z，x〉∈Y。

8.对于类X，存在类Y，使得〈x，y，z〉∈X，当且仅当〈x，z，y〉∈Y。

C组公理(集合存在公理)

1.无穷公理

2.并集公理

3.幂集公理

4.替换公理

D组公理：对于任意的不空类X，都有y∈X，使

y∩X=∅。

E组公理(选择公理).

这个公理系统的最大特点是没有公理模式，因此，它是一有穷公理系统.并且它规定真类不能作为类的元素。从而避免了以往的悖论。

差异比较

GB系统与ZFC系统

与ZFC系统相比，GB系统增添了类的概念及类的构成公理，从而具有两大优点:(1)由于类的引入，因而可以自由地使用概括原理，(2)运用类的构成公理，可以证明GB系统中的一条很强的定理，由它可以导出置换公理模式与子集公理模式。因此GB系统是一个有限公理化系统，而ZFC却是一个无限公理化系统。随之可以得到：在GB系统中引进类的概念并增加类的构成公理后，并不增加产生悖论的危险。因为，可以证明GB关于ZFC是相对协调的。因而，如果ZF是协调的，那么ZFC也是协调的，GB也是协调的。进一步还可证明ZFC系统中的定理与GB系统中不包含类的定理完全一致。

GB系统与ZF系统

GB系统和ZF系统的不同，主要是: (1 )GB系统区分“集合”和“类”,能作其它集合或类的元素是集合，不能作其它的类的元素的类，叫做真类。 GB系统对类和集合使用两种变元。(2 )GB系统的公理是有穷的。

在ZF系统和GB系统之间，若给出一一定的对应关系，则可有下述结果: (1)所有ZF系统的定理都是GB系统的定理，(2)GB系统中关于集合(不说及类)的定理都是ZF系统的定理；(8) ZF是协调的，当且仅当GB是协调的。

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