有限域

仅含有限个元素的域

有限域亦称伽罗瓦域（galois field），是仅含有限个元素的域,它是伽罗瓦(Galois,E.)于19世纪30年代研究代数方程根式求解问题时引出的.有限域的特征数必为某一素数p,因此它含的素域同构于Zp.若F是特征为p的有限域,则F中元素的个数为pn,n为某一正整数.元素个数相同的有限域是同构的.因此,通常用GF(pn)表示pn元的有限域.GF(pn)的乘法群是(pn-1)阶的循环群.有限域在近代编码、计算机理论、组合数学等各方面有着广泛的应用.

概念

在抽象代数中，域是一种可进行加、减、乘和除运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。域是环的一种。域和一般环的区别在于域要求它的元素可以进行除法运算，这等价于每个非零的元素都要有乘法逆元。同时，在现代定义中，域中元素关于乘法是可交换的。简单来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体，或者反称域。在过去的定义中，除环被称为“域”，而现代意义上的域被称为“交换域”，包含有限个元素的域被称为有限域。

实际上，域是一个可以在其上进行加法、减法、乘法和除法运算而结果不会超出域的集合。如有理数集合、实数集合、复数集合都是域，但整数集合不是（很明显，使用除法得到的分数或小数已超出整数集合）。

如果域F只包含有限个元素，则称其为有限域。有限域中元素的个数称为有限域的阶。尽管存在有无限个元素的无限域，但只有有限域在密码编码学中得到了广泛的应用。每个有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为pn（p是素数、n是正整数），该有限域通常称为Galois域(Galois Fields)，记为GF(pn)。

当n=1时，存在有限域GF（p），也称为素数域。在密码学中，最常用的域是阶为p的素数域GF（p）或阶为的GF( )域。

有限域中的计算

一切有限域都有加法和乘法两种运算，并必须满足以下条件：

1．封闭性：若任意两元素a·b∈GF(q)，则有

a+b∈GF(q) a·b∈GF(q)

2．结合律：若任意a、b、c∈GF(q)，则有

(a+b)+c=a+(b+c)，(a·b)c=a(b·c)

3．交换律：若任意a、b∈GF(q)，则有

a+b=b+a，a·b=b·a

4．有乘法恒等元e和加法恒等元0，使任意元素a∈GF(q)都有：

a+0=a， a·e=a

5．任意元素a∈GF(q)都有乘法逆元素和加法负元素(-a)，使

a+(-a)=0

但叫无定义。

6．乘对加分配律:任意a、b、c∈GF(q)有

a(b+c)=a·b+a·c

有限域的结构

1．有限域的乘法结构

域的全体非0元素集合构成交换乘群；全体元素集合构成交换加群。有限域的元素个数是有限的。因此，全体非0元素集合构成有限乘群，乘群中每个元素的级为有限。并可以证明，该群必由群中的一个元素生成，且是循环群。

2．有限域的加法结构

在域中必有乘法单位元1，若作1+1+1+…运算，对无限域来说，则有可能n·1≠o，但在有限域中，1+1+…+1=0，否则该域必成为无限域。例如，在GF(2)中，1+1=0。