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lipschitz条件

利普希茨连续条件

在数学中，特别是实分析，lipschitz条件，即利普希茨连续条件（Lipschitz continuity），以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。

定义
对于在实数集的子集的函数 ，若存在常数，使得 ，则称 符合利普希茨条件，对于 最小的常数 称为 的利普希茨常数。若 ， 称为收缩映射。
利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义：
给定两个度量空间 ， 。若对于函数 ，存在常数 使得
则说它符合利普希茨条件。
若存在 使得
则称 为双李普希茨(bi-Lipschitz)的。
皮卡-林德洛夫定理
若已知 有界， 符合利普希茨条件，则微分方程初值问题 刚好有一个解。
在应用上， 通常属于一有界闭区间（如 ）。于是 必有界，故 有唯一解。
例子
符合利普希茨条件， 。
不符合利普希茨条件，当 。
定义在所有实数值的 符合利普希茨条件， 。
符合利普希茨条件， 。由此可见符合利普希茨条件的函数未必可微。
不符合利普希茨条件， 。不过，它符合赫尔德条件。
当且仅当处处可微函数f的一次导函数有界，f符合利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有 函数都是局部利普希茨的，因为局部紧致空间的连续函数必定有界。
性质
符合利普希茨条件的函数一致连续，也连续。
bi-Lipschitz函数是单射的。
Rademacher定理：若 且 为开集， 符合利普希茨条件，则f几乎处处可微。
Kirszbraun定理：给定两个希尔伯特空间， 符合利普希茨条件，则存在符合利普希茨条件的 ，使得 的利普希茨常数和 的相同，且 。
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