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马尔科夫随机场

mrf，马尔科夫随机场。

（Markov Random Field）

什么是随机过程

在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。人类历史上第一个从理论上提出并加以研究的过程模型是马尔科夫链，它是马尔科夫对概率论乃至人类思想发展作出的又一伟大贡献。

出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在本世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出了最重要的一类加以研究。1906年他在《大数定律关于相依变量的扩展》一文中，第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其中某个变量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一个变量来决定，而与它更前面的那些变量无关。这就是被后人称作马尔科夫链的著名概率模型。也是在这篇论文里，马尔科夫建立了这种链的大数定律。

什么是马尔科夫随机过程和马尔科夫链

用一个通俗的比喻来形容，一只被切除了大脑的白鼠在若干个洞穴间的蹿动就构成一个马尔科夫链。因为这只白鼠已没有了记忆，瞬间而生的念头决定了它从一个洞穴蹿到另一个洞穴；当其所在位置确定时，它下一步蹿往何处与它以往经过的路径无关。这一模型的哲学意义是十分明显的，用前苏联数学家辛钦（1894－1959）的话来说，就是承认客观世界中有这样一种现象，其未来由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识丝毫不影响这种决定性。这种在已知“现在”的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫过程，其最原始的模型就是马尔科夫链。

这即是对荷兰数学家惠更斯（Ch. Huygens, 1629－1695）提出的无后效原理的概率推广，也是对法国数学家拉普拉斯（P. S. Laplace, 1749－1827）机械决定论的否定。

这里应该指出，尽管拉普拉斯对概率论的早期发展作出过重大贡献，但是他的部分哲学观点是不利于这门学科的深入发展的。十八世纪以来，随着牛顿力学的彻底胜利，一种机械唯物主义的决定论思潮开始在欧洲科学界蔓延，鼓吹最力者就是拉普拉斯。1759年他在巴黎高等师范学院发表了一篇题为《概率论的哲学探讨》的演讲，淋漓尽致地表达出了这种思想。他说：“假如有人知道了某一时刻支配自然的一切力，以及它的一切组成部分的相对位置，又假如他的智力充分发达，能把这一切数据加以充分的分析，把整个宇宙中从最巨大的天体到最微小的原子的一切运动完全包括在一个公式里面，这样对他就没有什么东西是不确定的了，未来也好，过去也好，他都能纵览无遗。”1812年，拉普拉斯又进一步提出“神圣计算者”的观念，认为这个理想的数学家只须知道世界某一时刻的初始状态，就可以从一个无所不包的微分方程中算出过去和未来的一切状态。换句话说，他认为任意系统在 t ＞t0时的状态 x可由其初始时刻 t0和初始状态 x0唯一决定。这可真是笔判终身、细评流年，数学家可以摆个卦摊了。马尔科夫的概率模型从根本上否定了系统中任一状态 x与其初始状态 x0之间的因果必然性，从而也否定了“神圣计算者”的神话。

还应该指出，马尔科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲学意义，而且具有真实的物质背景，在他的工作之前或同时，一些马尔科夫链或更复杂的随机过程的例子已出现在某些人的研究中，只不过这些人没有自觉地认识到这类模型的普遍意义或用精确的数学语言表述出来罢了。例如苏格兰植物学家布朗 ( R. Brown, 1773－1858) 于1827年发现的悬浮微粒的无规则运动、英格兰遗传学家高尔顿（F.Galton, 1822－1911）于1889年提出的家族遗传规律、荷兰物理学家埃伦费斯特 ( P. Ehrenfest, 1880－1933) 于1907年关于容器中分子扩散的实验，以及传染病感染的人数，谣言的传播，原子核中自由电子的跃迁，人口增长的过程等等，都可用马尔科夫链或过程来描述。也正是在统计物理、量子力学、遗传学以及社会科学的若干新课题、新事实面前，决定论的方法显得百孔千疮、踵决肘见。

有趣的是，马尔科夫本人没有提到他的概率模型在物理世界的应用，但是他利用了语言文学方面的材料来说明链的性质。在《概率演算》第四版中，他统计了长诗《叶甫盖尼·奥涅金》中元音字母和辅音字母交替变化的规律：这是长诗开头的两句，意为：“我不想取悦骄狂的人生，只希望博得朋友的欣赏。”诗人那火一般的诗篇在数学家那里变成了一条冷冰冰的锁链：在这条锁链上只有两种链环，C代表辅音、代表元音（为了使问题简化起见，不仿把两个无音字母算作辅音）。马尔科夫分别统计了在C后面出现C和的概率p和1－p，以及在后出现C和的概率q和1－q，把结果与按照俄语拼音规则计算出的结果进行比较，证实了语言文字中随机的（从概率的意义上讲）字母序列符合他所建立的概率模型。

完成了关于链的大数定律的证明之后，马尔科夫又开始在一系列论文中研究链的中心极限定理。1907年他在《一种不平常的相依试验》中证明了齐次马尔科夫链的渐近正态性；1908年在《一个链中变量和的概率计算的极限定理推广》中作了进一步的推广；1910年他发表了重要的论文《成连锁的试验》，在其中证明了两种情况的非齐次马尔科夫链的中心极限定理。与此同时他在一些假定的前提下证明了模型的各态历经性，成为在统计物理中具有重要作用的遍历理论中第一个被严格证明的结果。遍历理论亦称ergodic理论, 是奥地利物理学家玻耳兹曼（L. Boltzmann, 1844－1906）于1871年提出来的，其大意是：一个系统必将经过或已经经过其总能量与当时状态相同的另外的任何状态。

马尔科夫链的引入，在物理、化学、天文、生物、经济、军事等科学领域都产生了连锁性的反应，很快地涌现出一系列新的课题、新的理论和新的学科，并揭开了概率论中一个重要分支－－随机过程理论蓬勃发展的序幕。

马尔科夫随机场的通俗解释

马尔可夫随机场（Markov Random Field）包含两层意思。

马尔可夫性质：它指的是一个随机变量序列按时间先后关系依次排开的时候，第N+1时刻的分布特性，与N时刻以前的随机变量的取值无关。拿天气来打个比方。如果我们假定天气是马尔可夫的，其意思就是我们假设今天的天气仅仅与昨天的天气存在概率上的关联，而与前天及前天以前的天气没有关系。其它如传染病和谣言的传播规律，就是马尔可夫的。

随机场：当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一个值之后，其全体就叫做随机场。我们不妨拿种地来打个比方。其中有两个概念：位置（site），相空间（phase space）。“位置”好比是一亩亩农田；“相空间”好比是种的各种庄稼。我们可以给不同的地种上不同的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”，赋予相空间里不同的值。所以，俗气点说，随机场就是在哪块地里种什么庄稼的事情。

马尔可夫随机场：拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄稼的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼的种类有关，与其它地方的庄稼的种类无关，那么这些地里种的庄稼的集合，就是一个马尔可夫随机场。

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