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波利亚定理

数学术语

Pólya 定理是非常重要和基本的计数工具。Pólya 定理是匈牙利数学家 Pólya 利用发生函数的方法，结合群的观点和权的概念建立起来的一个有关计数定理。Pólya 定理在有关计算不同等价类的个数问题上起着重要的作用。

提出者介绍
波利亚（1887.12.13-1985.9.7），美国著名数学家、教育家。1940 年移居美国，先在布朗大学任教。1942 年后一直在斯坦福大学任教。1953 年起，任该校退休教授。以他的名字命名的波利亚计数定理则是近代组合数学的重要工具。波利亚还是杰出的数学教育家，他对数学思维一般规律的研究，堪称是对人类思想宝库的特殊贡献。在前人研究同分异构体计数问题的基础上，波利亚在 1937 年以「关于群、图与化学化合物的组合计算方法」为题，发表了长达 110 页、在组合数学中具有深远意义的著名论文。
波利亚的重要数学著作有《怎样解题》、《不等式》（与哈代、李特伍德合著）、《数学的发现》多卷、《数学与猜想》多卷。
背景知识
(1) 群（Group）的定义 ：给定集合和上的二元运算，满足下列条件称为群：
(a) 封闭性（Closure）：若，则存在，使得。
(b) 结合律（Associativity）：任意，有。由于结合律成立，可记做；
(c) 有单位元（Identity）：存在，任意，。
(d) 有逆元（Inverse）：任意，存在，。记为。
(2) 置换群
置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用之表示。到自身的映射称为阶置换。阶置换共有个，同一置换用这样的表示可有个表示法。上的由多个置换组成的集合在置换乘法下构成一个群，则称为置换群，证明如下：
(3) Burnside 引理
设是上的一个置换群。是的一个子群。，中使元素保持不变的置换全体，称为不动置换类，记做。设是目标集上的置换群。每个置换都写成不相交循环的乘积。是在置换的作用下不动点的个数，也就是长度为的循环的个数。将划分成个等价类。等价类个数为：。
定理概念
设 是个对象的一个置换群，是置换的循环的个数，用种颜色对个对象着色, 着色方案数为。
区别内容
比较 Pólya 定理和 Burnside 引理：
（1）Pólya 定理中的群是作用在个对象上的置换群。
（2）Burnside 引理中的群是对这个对象染色后的方案集合上的置换群。
（3）两个群之间的联系：群的元素，相应的在染色方案上也诱导出一个属于的置换。
（4）通过 Pólya 定理和 Burnside 引理的对比，我们可以看出：在作用下不动的图像正好对应的循环节中的对象染以相同颜色得到的图像。。即同一循环中的元素都着同一种颜色的图像在的作用下保持不变。
方案
2. 在正面体的每个面上任意做一条对角线，有多少方案？
解：在每个面上做一条对角线的方式有种，可认为是面的着色问题。但面心 - 面心的转动轴转时，无不动图像。除此之外，都有不动图像。正六面体转动群：面的置换表示
不动： 个；
面面中心转度 个；
面面中心转度 个；
棱中对棱中转度 个；
对角线为轴转度 个；
正六面体转动群的阶数为；
故方案数为：。
母函数型定理
Sk=(b1k+b2k+…+bmk),k=1,2…n
举例
1.把4个球a,a,b,b放入3个不同的盒子里,求方案数,若不允许有空盒,有多少分配方案?
解:设这4个球分别为a1,a2,b1,b2,将4个球放入3个盒子,可抽象为对4个球的三着色。
G={e,(a1a2),(b1b2),(a1a2)(b1b2)}
l=(34+2*33+32)/4=36
P(G)=((r+b+g)4+2*(r2+b2+g2)(r+b+g)2+(r2+b2+g2)2)/4
展开后取ribjgk项,i,j,k＞0
r1b1g2的系数= r1b2g1的系数= r2b1g1的系数= (C(4,1)*C(3,1)*C(2,2)+2*C(2,1))/4=4
故若不允许有空盒, 分配方案有4*3=12种
2.4颗红色珠子嵌在正6面体的4个顶点上，有多少方案？
解 ：当于对顶点2着色，无珠设b。
正六面体转动群：顶点的置换表示
–不动: (1)8 1个
–面面中心转±90度 (4)22*3个
–面面中心转180度 (2)43个
–棱中对棱中转180度(2)46个
–对角线为轴转±120度 (1)2(3)2 2*4个
–正六面体转动群的阶数为24
–p=[(b+r)8+6(b4+r4)2 +9(b2+r2)4 +8(b+r)2(b3+r3)2]/24
方案数：求b4r4的系数 (C(8,4)+12+9*C(4,2)+8*C(2,1)*C(2,1))/24=7
定理的推广
1. 假定 是作用于 的置换群， 是作用于 的置换群。
若 和 是不相交的两个集合， ，令 作用于 ，有
换句话说，若用 表示上面的运算，它是作用于 个元素
的置换，它对 的作用属于 的置换，对 的作用属于 的置换。这样的群用 来表示，群 的阶应有
现在再来看看 和 、 的关系如何？假如 的格式为
的格式为
则 的格式为
所以
2. 作用于 ，即 作用与 ，使 ， 。同样有 。
群 的阶为 。
若存在 和 ，使得 ，有 。令 则有 ，而且 是使 成立的 的最小值。所以元素 是 中属于群 的 - 循环.这样的 - 循环数目为
对于一般的有：
其中 ， ， ，。
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