P问题

计算机科学术语

P问题是具有多项式算法的判定问题。这里的P代表Polynomial。P问题就是可以有一个确定型图灵机在多项式时间内解决的问题。即那些存在O（n）， O（nk）， O（nlogn）等多项式时间复杂度解法的问题。比如排序问题、最小生成树、单源最短路径。直观的讲，我们将P问题视为可以较快解决的问题。

定义

P问题（P-problem）具有多项式算法的判定问题。这里P表示Polynomial一词的第一个字母。这类问题的吸引力在于：

1.由于多项式的加法和乘法仍为一多项式，在做替换时，仍保持问题的多项式性。

2.相对容易地计算算法的总步数。

3.对于此类问题，回答“是”与“不是”均具有多项式这一性质刻画，换言之，对此类问题而言，回答“是”与“不是”是对称的。

支撑树问题、匹配问题、拟阵问题、二拟阵交问题、网络流问题、中国邮路问题、最短路问题等均属P问题。

关系

NP问题是指那些可以在非确定型图灵机上在多项式时间内解决的问题。（在确定型图灵机上可以在多项式时间内验证解是否正确，但不能在多项式时间内找出最优解的问题）。非确定型图灵机可以理解为无限个确定型图灵机的集合。应该是说的一种强大的还不存在的，也与计算机无法比较的一种计算机吧。也许它具备跳跃思维、能联想能学习能推理。

NP是还未找到多项式解法的问题。对于这些问题，我们也不知道是否存在多项式的解法。所以叫非确定多项式问题。NP代表“Non-deterministic（非确定性）Polynomial（多项式）”而不是代表“Non-Polynomial（非多项式）。典型的NP问题是旅行商问题（TSP）。

之所以要定义NP问题，是因为通常只有NP问题才可能找到多项式的算法。NP问题如果找到了多项式解法就是P问题了。NP问题是我们还未找到多项式解法的问题。我们也不能证明它一定存在或不存在多项式解法。调查显示有的人持肯定态度，认为NP问题一定存在多项式解法，即P=NP。有的坚信NP问题不存在多项式解法。当然也有的人持不确定态度。

人们想知道，是否所有的NP问题都是P类问题。所有对NP问题的研究都集中在一个问题上，即究竟是否有P=NP？这个问题还“啃不动”。但是，一个总的趋势、一个大方向是有的。人们普遍认为，P=NP不成立，也就是说，多数人相信，存在至少一个不可能有多项式级复杂度的算法的NP问题。

发展

人们如此坚信P≠NP是有原因的，就是在研究NP问题的过程中找出了一类非常特殊的NP问题叫做NP-完全问题，也即所谓的NPC问题。C是英文单词“完全”的第一个字母。正是NPC问题的存在，使人们相信P≠NP。为了说明NPC问题，我们先引入一个概念——约化（Reducibility，有的资料上叫“归约”）。

一个问题A可以约化为问题B的含义即是，可以用问题B的解法解决问题A，或者说，问题A可以“变成”问题B。“问题A可约化为问题B”有一个重要的直观意义：B的时间复杂度高于或者等于A的时间复杂度。也就是说，问题A不比问题B难。这很容易理解。既然问题A能用问题B来解决，倘若B的时间复杂度比A的时间复杂度还低了，那A的算法就可以改进为B的算法，两者的时间复杂度还是相同。

NPC问题的定义非常简单。同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。

首先，它得是一个NP问题；然后，所有的NP问题都可以约化到它。

证明一个问题是NPC问题也很简单。

先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它（由约化的传递性，则NPC问题定义的第二条也得以满足；至于第一个NPC问题是怎么来的，下文将介绍），这样就可以说它是NPC问题了。

既然所有的NP问题都能约化成NPC问题，那么只要任意一个NPC问题找到了一个多项式的算法，那么所有的NP问题都能用这个算法解决了，NP也就等于P了。因此前文才说，“正是NPC问题的存在，使人们相信P≠NP”。我们可以就此直观地理解，NPC问题没有多项式的有效算法，只能用指数级甚至阶乘级复杂度的搜索。

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