SIR模型

传播模型

SIR模型是是一种传播模型，是信息传播过程的抽象描述。是传染病模型中最经典的模型，其中S表示易感者，I表示感染者，R表示移出者。

SIR模型的提出与定义

传染病模型有着悠久的历史，一般认为始于1760年Daniel Bernoulli在他的一篇论文中对接种预防天花的研究。真正的确定性传染病数学模型研究的前进步伐早在20世纪初就开始了，Hamer、Ross等人在建立传染病数学模型的研究中做出了大量的工作，直到1927年Kermack与McKendrick在研究流行于伦敦的黑死病时提出了的SIR仓室模型，并于1932年继而建立了SIS模型，在对这些模型的研究基础上提出了传染病动力学中的阈值理论。Kermack与McKendrick的SIR模型是传染病模型中最经典、最基本的模型，为传染病动力学的研究做出了奠基性的贡献。

模型中把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；I类，感病者（Infective），指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者（Removal），指被隔离，或因病愈而具有免疫力的人。

SIR模型的数学模型

在传染病动力学中，主要沿用的由Kermack与McKendrick在1927年用动力学的方法建立了SIR传染病模型。SIR模型仍被广泛地使用和不断发展。SIR模型将总人口分为以下三类：易感者(susceptibles)，其数量记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数；染病者(infectives)，其数量记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数；恢复者(recovered)，其数量记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数。设总人口为N(t)，则有N(t)=s(t)+i(t)+r(t)。

SIR模型的建立基于以下三个假设：

⑴不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。人口始终保持一个常数，即N(t)≡K。

⑵一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设 t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数s(t)成正比，比例系数为β，从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数为βs(t)i(t)。

⑶ t 时刻，单位时间内从染病者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γi(t)。

基于以上三个假设条件，感染机制如下所示：

在以上三个基本假设条件下，可知：当易感个体和感染个体充分混合时，感染个体的增长率为，易感个体的下降率为，恢复个体的增长率为。易感者从患病到移出的过程可以用微分方程表示如下：

解得微分方程的解为(和表示初始值)，其中是传染期接触数.

s(t)、i(t)的求解十分困难，可利用相轨线分析讨论解i(t)、s(t)的性质，将单位化（即占总人数的比例），则变化曲线如图3所示，其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向。

分析图像可以得到以下结论：

为保证传染病不蔓延，需要满足。为了达到这个目的，一方面，可以提高阈值，需降低，即减小日接触率，可通过提高卫生水平的方式；增大日治愈率，可以通过提高医疗水平的方式。另一方面，也可以通过群体免疫来提高，从而降低，使病情不蔓延。

基于微分方程组求解的SIR模型可以根据已有数据比较准确地拟合曲线，并利用相轨线分析得出使传染病不蔓延的措施，理论依据充分。

但是应注意到，模型对人群的分类不够细致，没有明确考虑隔离的因素。而现实中对疑似病人的隔离是控制疫情传播的有效手段。模型没有引入反馈机制，在预测过程中，单纯依据已有数据预测未来较长一段时间的数据，必然会使准确度降低。此外，微分方程组求解较为困难，且对初值比较敏感，这对模型的稳健性是一个很大的影响。

应用于信息传播领域

应用于信息传播的研究，SIR模型可以描述如下：最初，所有的节点都处于易感染状态，对应个体不知道信息的情况。然后部分节点接触到此信息，变为感染状态。这些节点试着感染处于易感染态的节点，或者进入恢复状态。感染一个节点，即传递信息或者影响节点对某事的态度。恢复状态，即免疫，处于恢复状态的节点不再参与信息的传播。

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