奇异值分解

线性代数术语

奇异值分解（Singular Value Decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，奇异值分解则是特征分解在任意矩阵上的推广。在信号处理、统计学等领域有重要应用。

基本介绍

奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。谱分析的基础是对称阵特征向量的分解，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。

理论描述

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域 K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是半正定m×n阶对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi，其中Σi即为M的奇异值。

常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。（虽然U和V仍然不能确定）

直观的解释

在矩阵M的奇异值分解中

特征向量。

奇异值和奇异向量, 以及他们与奇异值分解的关系

一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在Km 的单位向量u和Kn的单位向量v如下：

其中向量u 和v分别为σ的左奇异向量和右奇异向量。

对于任意的奇异值分解，矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值。U和V的列分别是奇异值中的左、右奇异向量。因此，上述定理表明：

（1）一个m × n的矩阵至多有 p = min(m,n)个不同的奇异值；

（2）总是可以找到在Km 的一个正交基U，组成M的左奇异向量；

（3）总是可以找到和Kn的一个正交基V，组成M的右奇异向量。

如果一个奇异值中可以找到两个左（或右）奇异向量是线性相关的，则称为退化。

非退化的奇异值具有唯一的左、右奇异向量，取决于所乘的单位相位因子eiφ（根据实际信号）。因此，如果M的所有奇异值都是非退化且非零，则它的奇异值分解是唯一的，因为U中的一列要乘以一个单位相位因子且同时V中相应的列也要乘以同一个相位因子。

根据定义，退化的奇异值具有不唯一的奇异向量。因为，如果u1和u2为奇异值σ的两个左奇异向量，则两个向量的任意规范线性组合也是奇异值σ一个左奇异向量，类似的，右奇异向量也具有相同的性质。因此，如果M 具有退化的奇异值，则它的奇异值分解是不唯一的。

几何意义

因为U 和V 向量都是单位化的向量, 我们知道U的列向量u1,...,um组成了K空间的一组标准正交基。同样，V的列向量v1,...,vn也组成了K空间的一组标准正交基(根据向量空间的标准点积法则)。

线性变换T：即K → K，把向量Nx变换为Mx。考虑到这些标准正交基，这个变换描述起来就很简单了：T(vi) = σi ui, for i = 1,...,min(m,n)，其中σi 是对角阵Σ中的第i个元素；当i > min(m,n)时，T(vi) = 0。

这样，SVD理论的几何意义就可以做如下的归纳：对于每一个线性映射T: K → K，T把K的第i个基向量映射为K的第i个基向量的非负倍数,然后将余下的基向量映射为零向量。对照这些基向量，映射T就可以表示为一个非负对角阵。

应用

求伪逆

奇异值分解可以被用来计算矩阵的伪逆。若矩阵 M 的奇异值分解为，那么 M 的伪逆为。

其中是的伪逆，并将其主对角线上每个非零元素都求倒数之后再转置得到的。求伪逆通常可以用来求解线性最小平方、最小二乘法问题。

平行奇异值

把频率选择性衰落信道进行分解。

矩阵近似值

奇异值分解在统计中的主要应用为主成分分析（PCA），一种数据分析方法，用来找出大量数据中所隐含的“模式”，它可以用在模式识别，数据压缩等方面。PCA算法的作用是把数据集映射到低维空间中去。数据集的特征值（在SVD中用奇异值表征）按照重要性排列，降维的过程就是舍弃不重要的特征向量的过程，而剩下的特征向量组成的空间即为降维后的空间。

编程

几种编程语言中计算SVD的函式范例

matlab：

[b c d]=svd(x)

OpenCV：

void cvSVD( CvArr* A, CvArr* W, CvArr* U=NULL, CvArr* V=NULL, int flags=0 )

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