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施密特正交化

数学专业名词

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

方法简介
施密特正交化是将一个向量组正交化的重要方法，是求向量空间的规范正交基的一个重要步骤。
线性无关向量组未必是正交向量组，但正交向量组又是重要的，因此现在就有一个问题：能否从一个线性无关向量组 出发，构造出一个标准正交向量组 ，并且使向量组 与向量组 等价 呢?回答是肯定的，通过施密特正交化方法就可以实现。下面就来介绍这个方法，由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。设向量组 线性无关，先来构造正交向量组 ，并且使 与向量组 等价 。按所要求的条件， 是 的线性组合， 是 的线性组合，为方便起见，不妨设
其中，数值 的选取应满足 与 垂直，即
注意到 ，于是得 ，从而得
对于上面已经构造的向量 与 ，再来构造向量 ，为满足要求，可令
其中， 的选取应满足 分别与向量 与 垂直，即
由此解得
于是得
容易验证，向量组 是与 等价的正交向量，若再将 单位化，即令
则 就是满足要求的标准正交向量组。
定理
一般地，用数学归纳法可以证明：
设 是 中的一个线性无关向量组，若令
则 就是一个 正交向量组，若再令
就得到一个标准正交向量组 ，且该向量组与等价。
上述所说明的利用线性无关向量组，构造出一个标准正交向量组的方法，就是施密特正交化方法。
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