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沃利斯公式

圆周率π的有理数极限表达式

沃利斯公式(Wallis formula)是圆周率π的有理数极限表达式。数学分析中著名的沃利斯公式是第一个把无理数π/2(实质上是超越数)表成容易计算的有理数列的极限的重要公式，在理论上很有意义。这个公式最早由沃利斯(J.Wallis)得到，并于1655年发表。

基本介绍
形如
的公式称为沃利斯公式。
它可以通过
(m为奇数整数)和
(m为偶数整数)
得到，这个公式最早由沃利斯(J.Wallis)得到，并于1655年发表。他原来的结果是
这不仅是数学史上较早的无穷乘积的例子，也是第一个将π表为容易计算的有理数列的极限的公式，但对π的计算，现在已有快速的方法。
相关介绍
沃利斯无疑是牛顿之前最重要的英国数学家，他在无穷小分析领域做出他最重要的贡献。其中一项贡献是，在计算的值时，他领先于欧拉论述伽马函数(或阶乘函数)的某些作品。从卡瓦列里、费马及其他人的作品中，沃利斯得知，这个积分代表了半圆的面积，因此，这个面积是。但是，如何能够用无穷小的方法，通过直接求这个积分的值来得到答案呢?沃利斯回答不了这个问题，但他的归纳法和插值法产生了一个十分有趣的结果。在针对n的几个正整数值求出的值之后，沃利斯通过不完全归纳法得出了这样一个结论：这个积分的值是。假设这个公式也适用于n的分数值，沃利斯得出结论：
式中，或者。这是欧拉的贝塔函数的一个特例，即：
式中，
在那些批评沃利斯的几何算术化的人当中，托马斯·霍布斯(1588～1679)是最重要的一位，他极力反对“把代数应用于几何的整个群体”，并把《无穷算术》称为“符号的疮痂”。然而，霍布斯的数学自负超过他的数学能力。他坚持认为，已经解决了化圆为方及其他古代几何问题。沃利斯完全有资格不理睬霍布斯，继续做出更多的发现。他最有名的成果当中包括下面这个无穷乘积:
这个表达式很容易得到，只要利用下面这个现代定理:
再加上下面这两个公式:
(m为奇数整数)和
(m为偶数整数)
(符号m!!代表乘积m(m-2) (m-4) ... ，它依据m是奇数还是偶数结束于1或2。)因此，上述求的公式被称作沃利斯公式。然而，沃利斯用来实现他那个求2/π的无穷乘积的方法，实际上还是基于他的归纳和插值原理，这一次是应用于，这个积分他不能直接求出，因为缺少二项式定理。
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