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Π-定理

量纲分析基本原理

Π-定理，即量纲分析基本原理，是量纲分析法的理论基础。这个定理由Backingham在1914年提出。到了1922年，R.W.Bridgman把这个定理称为Π定理， 这是因为π这个符号是由Buckingham在定理的推导和证明中用来表示无量纲量的缘故。关于量纲的应用，除了一般的介绍单位的换算、检查公式的对错等少数方面，但量纲分析法又是量纲分析的理论核心。

定理内容
量纲
由于各物理量之间存在规律性的联系，我们不必对每个物理量的单位都独立地予以规定。我们可以选取一些物理量作为“基本量”，并且为每个基本量规定一个“基本量度单位”，其他物理量的量度单位则可以按照它们与基本量之间的关系式（定义或定律）导出，这些物理量称为“导出量”，它们的单位称为“导出单位”。按照此种方法构成的一套单位，构成一定的“单位制”。在不同的单位制中，不仅基本量的选取可以不同，基本量的数目也可以不同。例如，CGS单位制中有三个基本量，MKSA单位制中有四个基本量。
在选定了单位制之后，导出量的量度单位就可以由基本量度单位表达出来，这种表达式称为该导出量的“量纲式”，设 是所选单位制中的 个基本单位，用 代表导出量 的量纲式，则
指数 称为物理量 的“量纲指数”。
量纲可以看成是某个“矢量空间”中的“矢量”。于是，对 式两端取对数，则有
这里，若我们把 看作 维空间的“正交基矢”，则 就是“矢量” 在基矢上的投影，或者称作“分量”。自然地约定，量纲式可以写作：
所谓几个物理量的量纲彼此独立，是指无法用他们的幂次乘积组成无量纲的常数。用矢量的语言表达，就是代表量纲的矢量彼此线性无关。在 维空间内最多有 个彼此线性无关的矢量。
个矢量 线性无关的条件是由他们组成的行列式不等于零：
Π定理
量纲分析法的理论基础是Π-定理，这个定理是E.Buckingham在1914年提出的：
设某个物理问题涉及 个物理量（包括物理常量） ，而我们选取的单位制中有 个基本量 ，则由此可组成 个无量纲的量 。在物理量 之间存在函数关系式
可相应表达为无量纲形式：
（在 的情况下有两种可能：若 的量纲彼此独立，则不能由他们组成无量纲的量；若不独立，则还可能组成无量纲的量。）
证明
设 个物理量的量纲为
其中最多只能有 个是线性无关的。我们假定它们是其中的前 个，则其余 个物理量中的任何一个都可表示为它们的线性组合，也就是
写成分量形式，用矩阵表示，则有：
由于等式左端方阵的行列式不等于零，故对每个 有一组解 ，共 组，这就是说，我们有
或者说
是一些无量纲的量，这样无量纲量共有 个。
我们设想把 的量度单位分别改变为原来的 ，则在这个单位制下这些量的数值 与原来的数值 有如下关系：
量纲关系式 表明，物理量 在新旧单位制之间的数值关系为
取 ，由 和 式有
函数式 不应该受度量单位变化的影响，亦即我们有：
对于上述的特殊选择，有
这就是 式，证毕.▏
等价形式
Π定理可以表示为另一等价形式，这一形式在很多场合更便于使用。在一定问题中物体系的发展和演化往往由若干个变量决定，不妨叫做“主定参量”在上面的推演中， 实际上起着一组新基矢的作用，我们尽可以选为代表主定参量的量纲矢量。如果在其他的物理量中我们感兴趣的是其中的某一个，譬如 ，则我们可以从 式中把 解出来：
因 ，并将 解出，于是有
这便是Π定理的另一种表述形式。
应用
Π-定理有许多应用，给出两个例子。
量子涨落
设想两块无限大平面壁相距 ，皆由理想导体构成。从经典理论看，两壁之间应该没有作用力，但若计及（相对论性）电磁场的量子真空涨落效应，求两壁单位面积上的作用力 也即压强和距离的函数关系。
利用Π-定理解答是。除了距离 外，这里涉及电磁场，有关的参量为真空中的光速 ；还涉及到量子效应，有关的参量还有普朗克常数 ，从量纲表
可以解出 ，即
也就是说， 反比于 的四次方。解答很简单，揭示的思想和联系却很深刻。
勾股定理
这个著名的定理，又称毕达哥拉斯定理，也可以用量纲法来证明。
一个直角三角形的面积可由它的一边（譬如斜边 ）和一个锐角（譬如 ）决定。 是无量纲的，根据定理的等价形式，可以写出：
作 边的垂线将三角形分成两个与原来相似的小直角三角形，它们各有一个是 的角，所以它们的面积应该分别是
又因为 ,所以
也就是
这便是勾股定理。
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