λ演算

形式系统

λ演算（英语：lambda calculus，λ-calculus）是一套从数学逻辑中发展，以变量绑定和替换的规则，来研究函数如何抽象化定义、函数如何被应用以及递归的形式系统。它由数学家阿隆佐·邱奇在20世纪30年代首次发表。lambda演算作为一种广泛用途的计算模型，可以清晰地定义什么是一个可计算函数，而任何可计算函数都能以这种形式表达和求值，它能模拟单一磁带图灵机的计算过程；尽管如此，lambda演算强调的是变换规则的运用，而非实现它们的具体机器。

简介

lambda演算可比拟是最根本的编程语言，它包括了一条变换规则（变量替换）和一条将函数抽象化定义的方式。因此普遍公认是一种更接近软件而非硬件的方式。对函数式编程语言造成很大影响，比如Lisp、ML语言和Haskell语言。在1936年邱奇利用λ演算给出了对于判定性问题（Entscheidungsproblem）的否定：关于两个lambda表达式是否等价的命题，无法由一个“通用的算法”判断，这是不可判定性能够证明的头一个问题，甚至还在停机问题之先。

lambda演算包括了建构lambda项，和对lambda项运行归约的操作。在最简单的lambda演算中，只使用以下的规则来建构lambda项：

产生了诸如：(λx.λy.(λz.(λx.zx)(λy.zy))(x y))的表达式。如果表达式是明确而没有歧义的，则括号可以省略。对于某些应用，其中可能包括了逻辑和数学的常量以及相关操作。

本文讨论的是邱奇的“无类型lambda演算”，此后，已经研究出来了一些有类型lambda演算。

发展历史

最开始，邱奇试图创制一套完整的形式系统作为数学的基础，当他发现这个系统易受罗素悖论的影响时，就把lambda演算单独分离出来，用于研究可计算性，最终导致了他对判定性问题的否定回答。

非形式化的直觉描述

在λ演算中，每个表达式都代表一个函数，这个函数有一个参数，并且会返回一个值。不论是参数和返回值，也都是一个单参的函数。可以这么说，λ演算中只有一种“类型”，那就是这种单参函数。函数是通过λ表达式匿名地定义的，这个表达式说明了此函数将对其参数进行什么操作。

例如，“加2”函数f(x)= x + 2可以用lambda演算表示为λx.x + 2（或者λy.y + 2，参数的取名无关紧要），而f(3)的值可以写作(λx.x + 2) 3。函数的应用（application）是左结合的：f x y =(f x) y。

考虑这么一个函数：它把一个函数作为参数，这个函数将被作用在3上：λf.f 3。如果把这个（用函数作参数的）函数作用于我们先前的“加2”函数上：(λf.f 3)(λx.x+2)，则明显地，下述三个表达式：

是等价的。有两个参数的函数可以通过lambda演算这样表达：一个单一参数的函数，它的返回值又是一个单一参数的函数（参见柯里化）。例如，函数f(x, y) = x - y可以写作λx.λy.x - y。下述三个表达式：

也是等价的。然而这种lambda表达式之间的等价性，无法找到某个通用的函数来判定。

并非所有的lambda表达式都能被归约至上述那样的确定值，考虑

或

然后试图把第一个函数作用在它的参数上。(λx.x x)被称为ω组合子，((λx.x x)(λx.x x))被称为Ω，而((λx.x x x) (λx.x x x))被称为Ω2，以此类推。若仅形式化函数作用的概念而不允许lambda表达式，就得到了组合子逻辑。

形式化定义

形式化地，我们从一个标识符（identifier）的可数无穷集合开始，比如{a, b, c, ..., x, y, z, x1, x2, ...}，则所有的lambda表达式可以通过下述以BNF范式表达的上下文无关文法描述：

头两条规则用来生成函数，而第三条描述了函数是如何作用在参数上的。通常，lambda抽象（规则2）和函数作用（规则3）中的括弧在不会产生歧义的情况下可以省略。如下假定保证了不会产生歧义：（1）函数的作用是左结合的，和（2）lambda操作符被绑定到它后面的整个表达式。例如，表达式 (λx.x x)(λy.y) 可以简写成λ(x.x x) λy.y 。

类似λx.(x y)这样的lambda表达式并未定义一个函数，因为变量y的出现是自由的，即它并没有被绑定到表达式中的任何一个λ上。一个lambda表达式的自由变量的集合是通过下述规则（基于lambda表达式的结构归纳地）定义的：

例，对于表达式λx.x（我们将第一个x视作变量，第二个x视作表达式），其中表达式x中，由1，它的自由变量集合是x，又由2，表达式λx.x的自由变量的集合是表达式x的自由变量集合减去变量x。所以对于表达式λx.x，它的自由变量集合是空。

例，对于表达式λx.x x由形式化描述的第3点，我们把它看作((λx.x)(x))，(λx.x)和(x)分别为表达式，由上一例知道(λx.x)的自由变量集合为空，表达式(x)的变量集合为变量x，所以对于λx.x x，它的自由变量集合为x与空的并，即x。

在lambda表达式的集合上定义了一个等价关系(在此用==标注)，“两个表达式其实表示的是同一个函数”这样的直觉性判断即由此表述，这种等价关系是通过所谓的“alpha-变换规则”和“beta-归约规则”。

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