一一对应

数学函数

一一对应是一种常见的对应，指两集合元素之间有一对一关系的对应。在数学中，双射，双射函数或一对一对应是两组的元素之间的函数，其中一组的每个元素与另一组的元素恰好配对，另一组的每个元素与第一组的正好一个元素也恰好配对。没有不配对的元素。在数学术语中，双射函数f：X→Y是集合X与集合Y的一一映射，也叫一一对应。

简介

在数学中，双射，双射函数或一对一对应是两组的元素之间的函数，其中一组的每个元素与另一组的元素恰好配对，另一组的每个元素与第一组的正好一个元素也恰好配对。没有不配对的元素。在数学术语中，双射函数f：X→Y是集合X与集合Y的一一映射，也叫一一对应。

具体定义

对于X和Y之间的配对（其中Y不需要与X不同）称为对应，以下四个属性必须成立：

（1）X的每个元素必须与Y的至少一个元素配对；

（2）没有X的元素可以与Y的多于一个元素配对；

（3）Y的每个元素必须与X的至少一个元素配对；

（4）Y的任何元素都不能与X的多个元素配对。

满足属性（1）和（2）意味着对应是域X的函数。更常见的是将属性（1）和（2）写为单个语句：X的每个元素与正好一个元素配对满足属性（3）的函数被称为“到Y”，称为抛射（或投射函数）。满足属性（4）的函数被称为“一对一函数”，称为或注入函数。使用这个术语，对应是一种既可以是一种输出，也可以是一种注入的功能，或者使用其他单词，对应是“一对一”和“上”的功能。

举例

打棒球或板球队的阵容

考虑棒球或板球队的击球阵容（或任何运动队的所有球员的列表，每个球员在阵容中持有特定的位置）。组X将是球队中的球员（在棒球的情况下大小为九），组Y将是击球顺序（1st，2nd，3rd等）的位置。由此给出“配对” 玩家在这个顺序是在什么位置。由于每个玩家都在列表中的某个地方，所以属性（1）是满足的。属性（2）是满足的，因为没有玩家在命中的两个（或更多）位置。属性（3）表示，对于每个职位，有一些球员在这个位置击球，而属性（4）则指出，两名或两名以上的选手不会在列表中同一位置击球。

座位和学生的教室

在教室里有一定数量的座位。一群学生进入房间，老师要求他们坐下。在房间周围快速浏览之后，老师声明，一组学生和一组座位之间存在双向偏差，每个学生与他们所在的座位配对。老师为了达成这个结论而观察到了什么是：

（1）每个学生都坐在座位上（没有人站立）；

（2）没有学生在一个以上的座位上；

（3）每个座位都有人坐在那里（没有空座）；

（4）没有座位上有不止一名学生。

教练得出的结论是，与学生一样多的座位，而不必计算任何一套。

逆

具有域X（以功能符号表示的f：X→Y）的双射f也定义了从Y开始并转到X（通过转动箭头）的关系。对于任意函数“转动箭头”的过程通常不产生函数，但是对应的属性（3）和（4）表示该反向关系是域Y的函数。此外，属性（1）和（2）然后说这个反函数是一个输出，一个注入，即反函数存在，也是一个双射。具有反函数的函数据说是可逆的。当且仅当它是双向的时候，函数是可逆的。

以简明的数学符号表示，当且仅当满足条件时，函数f：X→Y是对应

对于Y中的每个y，在x中存在唯一的x，其中y = f（x）。

继续使用棒球击球阵容示例，正在定义的功能以输入方式输入玩家之一，并以击球顺序输出该玩家的位置。由于这个功能是一个双射，它具有一个反向功能，它将击球顺序中的位置作为输入，并输出将在该位置击球的玩家。

基数

如果X和Y是有限集合，那么当且仅当X和Y具有相同数量的元素时，两个集合X和Y之间存在对应。实际上，在公理集理论中，这被认为是“相同数量的元素”（均等）的定义，并将这个定义推广到无限集，导致基数的概念，一种区分无限集的各种大小的方法。

部分功能

一一对应的概念概括为部分功能，即将其称为部分双射。这种原因是（适当的）部分功能对于其一部分域已经是未定义的；因此没有强制性的理由将其逆向约束为总功能，即在其域上的任何地方都被定义。给定基集合上的所有部分双射的集合称为对称反半群。

定义相同概念的另一种方式是说，从A到B的部分对应是任何关系R（其证明是部分功能），其特征在于R是对应f的图：A'→B' ，其中A'是A的子集，B'是B的子集。

当部分对应处于同一组时，有时称为一对一部分变换。一个例子是简单地在复杂平面上定义的莫比斯变换，而不是完成扩展的复杂平面。

全国各地天气预报查询

上海市

市辖区