一般拓扑学

学科名

一般拓扑学（general topology）是用点集的方法研究拓扑不变量的拓扑分支。它的前身是点集拓扑学。

历史起源

点集拓扑学是一般拓扑学的前身，产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

拓扑学的起源要上溯到数学家欧拉(Enler1707-1783年)生活的时代，有人说拓扑学产生于哥尼斯堡( K oenigsberg)七桥问题，因此，人们称欧拉为“拓扑学的鼻祖”。但是，十九世纪中期之前，拓扑主要是由孤立观察到的一些结果而组成。虽然，“拓扑”这个名词曾先由高斯(F. Gauss 1777- 1855年)的学生里斯丁 (J. B. L isting1806一1882年)在1847年的《拓扑学初步》一书中第一次出现。在这以前，菜布尼兹(G.W.Leibniz 1646一1716年)在几何图形的某些定性的研究中也曾引进了“位置几何”的名词。就是今天考虑的拓扑。但是，他对这门学科没有多大贡献。在十九世纪末和二十世纪初，拓扑通常称为“位置分析”。而像今天这样系统地研究一般拓扑学实际上起源于德国数学家康托(G.Cantor 1845一1918)和法国数学家弗里歇 (M.Frechet 1878 - 1973)，匈牙利数学家李斯(F. Riesz 1880一一1956)及德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff 1868一一1942)等人。康托在1879 -- 1884年创立了集合论后，同时考虑了欧氏空间中的点集，如极限和闭包等性质，为创立拓扑学奠定了基础。弗里歇在1906年和李斯1909年将极限的概念推广到函数的集上去，而1914年出现了豪斯道夫的点集论纲要，因而近代的一般拓扑产生了。

主要理论内容

泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，更促进了把点集当作空间来研究。数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题。为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念。如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系。1914年F.豪斯道夫开始考虑用“邻域”来定义拓扑。对一个非空的集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组邻域公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）。该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域。这就给出了X的一个拓扑结构。X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间。X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念。若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射。具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）。要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可。在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c，d]与[a,b]同胚。二维球面挖去一个点s2－p与欧几里得平面K2同胚。

要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射。方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚。一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等（见拓扑空间）。在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；L.S.乌雷松对紧空间进行了系统研究，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，乌雷松等人加以改进。

作用

首先由一般拓扑学的发展，为进一步数学的抽象提供了新的模型。我们知道，数学发展的一个重要标志是其语言不断地丰富，数是数学中最重要的语言，而康托创立了集合论后，集合就成了近代数学最重要的语言。近世代数、拓扑学、泛函分析都是建立在集合论的基础上。而1948年，波兰的爱伦伯格(Eilonborg1913-)和美国的桑·麦克伦(Mailace,1909-)提出了范畴论，这将成为现代数学中一个很重要的语言。而范畴论就是建立在现代数学的两大基础部门一抽象代数和拓扑学一之上的一门抽象性更高、概括性更强的新数学:在范畴论中通常将拓扑范畴、群范畴、环范畴、模范畴等。

另一方面，正由于一般拓扑的发展，因此，拓扑空间，连续映射当然是现代数学研究的一个重要对象，从而促使各种方法来研究这个对象，因而建立了与一般拓扑有关的各个数学分支。比如代数拓扑、微分拓扑、同伦论、同泛论、网络拓扑、线性拓扑空间、拓扑群等等。比如代数拓扑的基本对象是研究拓扑空间和它们的连续映射，如果我们能知道全体拓扑空间，全体连续映射和它们之间的全体关系，那末我们的目的便达到了。但这个目的显然是不能达到的，拓扑空间和连续映射都多而又多，因此，数学家们退一步而引进代数方法即代数较之拓扑易于掌握的这种设想之下，让拓扑空间和连续映射决定一些叫做拓扑不变量的代数对象。为了有效，这些不变量也设想为了可以计算的。由于代数拓扑的发展，代数拓扑现在也成了许多应用数学分支的重要工具。

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