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三力平衡汇交定理

物体受到同平面内不平行的三力作用而平衡时，三力的作用线必汇交于一点

当物体受到同平面内不平行的三力作用而平衡时，三力的作用线必汇交于一点。即物体在互相不平行的三个力作用下处于平衡状态时，这三个力必定共面共点，合力为零。

内容
弱定理：刚体受三个互不平行但共面的力作用而平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。
强定理：作用于物体上的三个相互平衡、但又不互相平行的力，若其中两个力的作用线汇交于一点， 则此三力必在同一个平面内，且第三个力的作用线通过前两个力的汇交点。
证明
反证法
若三力在同一平面内但不共点且不平行，则取任意两个力的交点作为支点，那么这两个力不产生力矩而第三个力不经过支点必定产生力矩，整个体系就不平衡了。若经过该点但不共面，同样会产生该方向的加速度，体系仍不平衡。故三力共面且力的作用线交于同一点。
直接证明
如图所示，在三力的作用线上分别取不共线的三点 并相互连接，组成平面。现考虑三力对轴的力矩，由于通过轴，故对轴的力矩均为零。由三力平衡的中力矩平衡知, 三力对任一轴的力矩之和均为零。由此知, 对轴的力矩也为零，故与轴的位置关系只可能有平行或相交两种情形。这两种情形的均可得出在平面上的结论。同理可证，也必在平面上。于是必有三力共面。
如图所示，在刚体的三点上 别作用三个力，使刚体处于平衡。其中的作用线汇交于一点 。根据力的可传性，将力移到汇交点，然后根据力的平行四边形法则，求得其合力，则应与 平衡。根据二力平衡公理，力与 共线。所以，力必定与力共面，且通过力的汇交点。
数学建系证明
（1）假设作用在刚体上的不平行的三个力分别为。建立以作用点为原点，作用线方向为轴正方向的空间直角坐标系。根据力的可传性，将的作用点沿其力的作用线平移至平面 内，设其坐标分别为：
（2）根据力矩平衡和受力平衡列出方程：
,
对于Y、Z方向，列相同的力和力矩平衡方程。
（3）解方程组，得：
Fz2=Fz3=0，F2、F3和F1在XOY平面上，再由二力平衡的条件得出共点。（同直接证明）
Fz2·Fz3≠0，设F2、F3尾线连线交平面XOY于A4（x4，y4，0），解得：
故，焦点位于X轴上，所以F2、F3和F1在XOZ平面上，再由二力平衡的条件得出共点。
溯源
三力平衡汇交定理，是由共点力平衡原理推导出的重要推论。
应用
三力平衡汇交定理是物理学中常用的解题手段，在工程设计、施工和验收中也有重要意义。它描述了静力学中平衡状态的重要条件，在解题中限定了力的方向，提供了新的方程，简化了解题过程。
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