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三次样条插值

数学术语

三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）简称Spline插值，是通过一系列形值点的一条光滑曲线，数学上通过求解三弯矩方程组得出曲线函数组的过程。

基本概念
早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后沿木条画下曲线。成为样条曲线。
相关函数
三次样条函数:
定义:函数S(x)∈C2[a,b] ，且在每个小区间[ xj,xj+1 ]上是三次多项式，其中
a =x0
若在节点x j 上给定函数值Yj= f (Xj).( j =0, 1, , n) ，并成立
S(xj ) =yj .( j= 0, 1, , n) ，则称S(x)为三次样条插值函数。
实际计算时还需要引入边界条件才能完成计算。边界通常有自然边界（边界点的二阶导为0），夹持边界（边界点导数给定），非扭结边界（使两端点的三阶导与这两端点的邻近点的三阶导相等）。一般的计算方法书上都没有说明非扭结边界的定义，但数值计算软件如Matlab都把非扭结边界条件作为默认的边界条件。
数学表达式
一种常用的样条插值设[a，b]上的插值节点构成[a，b]的一个分划Δ：a=x0
其中hi=xi+1-xi (i=0，1，…，n-1)，Mi=s″(xi)为待定参数.M0，M1，…，Mn满足线性方程组
hi-1Mi-1+2(hi-1+hi)Mi+hiMi+1
方程组(2)是含有n+1个未知数Mi(i=0，1，…，n)的由n-1个方程组成的线性方程组，不能定解.为此尚需补充两个条件.一般，在插值区间两个端点各补充一个条件，通常称为端点条件.最常用的端点条件有三种类型：
1.s′(x0)=f0′， s′(xn)=fn′.
2.s″(x0)=f0″， s″(xn)=fn″.
3.s(x0)=s(xn) (j=0，1，2).
用Mi表示，这三种条件依次为：
求解过程
1.将方程组(2)与三种端点条件的任何一种联合，解关于M0，M1，…，Mn的线性方程组.
2.将Mi(i=0，1，…，n)代入方程组(1)就得到s(x)关于各子区间的表达式.
特别指出，若第2种端点条件取为
M0=Mn=0(s″(x0)=s″(xn)=0)，
据此得到的样条插值函数称为自然样条，它在理论上，计算实践上都是很重要的.上面求解三次样条插值的方法称为三弯矩法，是三次样条插值解算方法中最常用的一种。
三次样条函数的构造
在工程上，构造三次样条插值函数通常有两种方法：一是以给定插值结点处得二阶导数值作为未知数来求解，而工程上称二阶导数为弯矩，因此，这种方法成为三弯矩插值。二是以给定插值结点处得一阶导数作为未知数来求解，而一阶导数又称为斜率，因此，这种方法称为三斜率插值。
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