三角函数值

初等函数中的超越函数的一类函数

三角函数值指不同弧度（或角度）在三角函数中对应的函数值。常用的三角函数值有正弦函数值、余弦函数值、正切函数值等。早在公元前1000多年前，埃及人就已经引入了一种类似角的余切的概念。公元一世纪末至二世纪初，托勒密在《至大论》一书中绘制了弦表。公元四至五世纪左右，印度数学家对三角函数值的研究做出了突出贡献，现存最早的正弦关系表便出自《悉昙多》和《阿利耶毗陀论》。三角函数值应用广泛，早在函数的概念出现之前，就已经被用于解决建筑学与天文学中的问题。

发展简史

埃及的三角学

由公元前1650年前后由一位书吏抄录的“阿美斯纸草书”的第56题可知，当时的埃及人已经引入了一种类似于角的余切的概念。

希腊的三角学

早期的希腊人曾对一个圆里的角（或弧）与其所对应弦长的关系做过系统研究。弦的属性，作为圆的中心角或内接角的度量，已经被希波克拉底时代的希腊人所熟悉。在欧几里得的作品中，没有严格意义上的三角学，而只有相当于某些特定三角学法则或公式的定理。

公元一世纪末至二世纪初，托勒密所做的《至大论》一书对于三角学有着更为透彻的阐释。该书的第一卷记载了托勒密编制的弦表，从至180°，每隔一项，精确到秒。这实际上就是从到90°、以的幅度递进的正弦表。

印度的三角学

公元四世纪至五世纪，印度数学家编写的《悉昙多》和《阿利耶毗陀论》中记载了现存最早的正弦关系表。这些表给出了直至90°角的正弦，每隔一项，共24项。

定义

三角函数中不同弧度（或角度）对应的函数值即为三角函数值。

常见三角函数共有三种，分别为正弦函数（sine），记作sin；余弦函数（cosine），记作cos；正切函数（tangent），记作tan。

在直角三角形ABC中，∠ACB为直角。对∠A定义：对边（opposite）BC=a、斜边（hypotenuse）AB=c、邻边（adjacent）AC=b，则存在以下关系：

函数介绍

数值表

求解方法

公式法

对于未知三角函数的角度，可以通过寻找其与已知三角函数的角度α的代数关系，通过对三角函数公式的运用来求解，如：

若的三角函数值已知，对于的三角函数值可由诱导公式导出。

若的三角函数值已知，对于的三角函数值可由三倍角公式导出。

面积法

对于△ABC，若面积S，的两个邻边b,c 已知，则 sinA 可由导出。

构造法

对于非直角三角形，可以通过构造包含所求角的直角三角形，通过三角函数在三角形中的定义式求解。

推广

借助复变函数的欧拉公式（）和棣莫弗定理（若，，则），能有效地把三角函数转化为有理函数，并且把三角函数的求和、求不等式等各种各样的问题，都转化为有理函数的对应问题，从而实现问题的简化和统一。因为有理函数的问题已经被研究得比较全面，解决问题的工具也非常丰富，所以复变函数课程提供的这种解题思路，能很好地解决三角函数的复杂问题。

意义

三角学已经有非常久远的历史，最初主要作为天文学中的测量工具。直至今日，三角学在实际生活中的很多方面仍有使用，如最基本的测量坡度或楼高、在天文学中测量距离，又如描述圆周运动、物理中的简谐振动等。三角学以数学作为基础，与其他学科如物理学、天文学等各学科之间存在紧密联系。

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