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三角形元素

三角学的基本概念

三角形元素(elements of triangle)是三角学的基本概念之一，三角形的三边(或它们的长度)和三内角(或它们的大小)以及由它们所确定的几何图形(或相应的几何量)统称三角形的元素。其中，三角形的三边a，b，c及三内角A，B，C称为三角形的基本元素，除此之外的三角形的元素称为三角形的非基本元素。例如，三角形的外角、周长、高、中线、角平分线及外接圆半径、内切圆半径、旁切圆半径、三角形的面积等都是三角形的非基本元素。

基本介绍
一个三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫做三角形的元素。三角形的边和角叫做三角形的基本元素。如图1所示，和它们的对边是的基本元素。其它的的三角形元素称为三角形的非基本元素。
重要的三角形元素
(1)中线和重心：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段叫作中线，三角形内的三条中线的交点为重心。重心定理: 三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。
(2)高和垂心：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段叫作三角形的高，三条高的交点叫作垂心。锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心就是直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外。
(3)角平分线和内心：三角形的一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作角平分线。三条角平分线的交点就是内心，也是三角形内切圆的圆心。对于角平分线，有性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(4)外心：三角形外接圆的圆心也是三角形三边垂直平分线的交点，由于垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以外心到三角形三个顶点的距离相等。
(5)中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边。并且等于它的一半。
一般三角形的性质
(1) 三角形三边的关系：三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
(2) 三角形内角和定理：。
(3) 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
(4) 三角形面积公式：
(海仑公式)，其中 是边上的高，角C是a，b边所夹的角，p为三角形的半周长。
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