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下调和函数

数学术语

下调和函数(subharmonic function)亦称次调和函数，是亚调和函数的一个子类。若-f为上调和函数，则f称为同一区域内的下调和函数，此时，若φ(t)是t的单调增的凸函数，则φ°f为下调和函数。例如，当u(x)为D⊂R2上的复值解析函数，实数α>0时，|u(x)|α与αlog|u(x)|都是下调和函数。

定义
定义一：设函数 在 上连续，则对 ，可以定义一个连续函数
即函数 在 上连续，在球B外部及边界 上等于 ，在球B内是调和函数。
定义二：设 在区域 上连续，如果对 ，有
则称 为 上的上调和函数，简称上调和函数；如果对 ，有
则称 为 上的下调和函数，简称下调和函数。
定义三：设函数 在 上连续，如果 上的上调和函数 均满足
则称 是 的一个上函数；如果 上的下调和函数 均满足
则称是的一个下函数。
相关性质
性质1
设函数 在 上连续，在 内是调和函数，则 既是上调和函数也是下调和函数。
性质2
设 是上（或下）调和函数，则 是下（或上）调和函数。
性质3
设 与 都是上（或下）调和函数，则 也是上（或下）调和函数。
性质4
设 为 上的上（或下）调和函数，则除 恒等于常数外，它只能在边界 上取到最小值（或最大值）。
利用上调和函数与下调和函数的定义，容易证明性质1到4。
性质5
设 都是上调和函数，则函数
也是上调和函数。
证明：由 易知， 。
另一方面，对 ,由 定义可知，对 ，有
并对 ，有
故由 ，并根据极值原理可知，对有
综上可知， ，且对 ，有
即 为 上的上调和函数。
性质6
设 为 上的上调和函数，则 也是上调和函数。
性质7
设函数 在 的边界 上连续，则 的任意一个上函数都不小 任意一个下函数。
证明: 设是的任意一个上函数，是的任意一个下函数，则对，有
并由性质2及性质3可知，是上的上调和函数，故由性质4可知，在上取最小值，即对，有
从而在内，不小于。即对有
性质8
设 都是 的上函数，则函数
也是的上函数。
性质9
设 是 的上函数，则函数 也是 的上函数。
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