不动点理论

关于方程的一种一般理论

不动点理论是关于方程的一种一般理论。数学里到处要解方程，诸如代数方程、函数方程、微分方程等等，种类繁多，形式各异。但是它们常能改写成ƒ(x)=x的形状，这里x是某个适当的空间Χ中的点，ƒ是从Χ到Χ的一个映射或运动，把每一点x移到点ƒ(x)。方程ƒ(x)=x的解恰好就是在ƒ这个运动之下被留在原地不动的点，故称不动点。于是，解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法。研究方法主要是拓扑的和泛函分析的（见非线性算子）。

理论简介

确定映射在某条件下存在不动点的定理称为不动点定理。

各种不动点定理构成不动点理论的基本内容。

基本内容

压缩映射原理

设X是一个完备的度量空间，映射ƒ:Χ→Χ 把每两点的距离至少压缩λ倍，即d(ƒ(x),ƒ(y))≤λd(x,y)，这里λ是一个小于1的常数，那么ƒ必有而且只有一个不动点,而且从Χ的任何点x0出发作出序列x1=ƒ(x0)，x2=ƒ(x1),...,xn=ƒ(xn-1)...，这序列一定收敛到那个不动点。这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础。

由于分析学的需要，这定理已被推广到非扩展映射、概率度量空间、映射族、集值映射等许多方面。

Brouwer不动点定理

(1910年)

设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。用这定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解。

把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间，就是绍德尔不动点定理(1930)，常用于偏微分方程理论。这些定理可以从单值映射推广到集值映射，除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济学。

Kakutani不动点定理

设C是Rn中的紧凸集, f为从C到C的非空凸子集的上半连续的点-集映射，则至少存在一点x*, 使得x*∈f(x*)。1941年，Kakutani把Brouwer不动点定理推广到有限维空间中多值映射的情形。

不动点指数

不动点的个数有两种数法。代数上通常说n次复多项式有n个复根，是把一个k重根算作k个根的;如果不把重数统计在内，根的个数就可以小于n。推广根的重数概念，可以定义不动点的指数，它是一个整数，可正可负可零，取决于映射在不动点附近的局部几何性质。一个映射的所有不动点的指数的总和，称为这映射的不动点代数个数，以别于不动点的实际个数。莱夫谢茨不动点定理:设Χ是紧多面体,ƒ:Χ→Χ是映射,那么ƒ的不动点代数个数等于ƒ的莱夫谢茨数L(ƒ)，它是一个容易计算的同伦不变量，可以利用同调群以简单的公式写出。当L(ƒ)≠0时，与ƒ同伦的每个映射都至少有一个不动点。

这个定理既发展了布劳威尔定理，也发展了关于向量场奇点指数和等于流形的欧拉数的庞加莱－霍普夫定理，把它进一步推广到泛函空间而得的勒雷－绍德尔参数延拓原理，早已成为偏微分方程理论的标准的工具。

J.尼尔斯1927年发现，一个映射ƒ 的全体不动点可以自然地分成若干个不动点类，每类中诸不动点的指数和都是同伦不变量。指数和不为0的不动点类的个数,称为这映射的尼尔斯数N(ƒ)。只要Χ是维数大于2的流形，N(ƒ)恰是与 ƒ同伦的映射的最少不动点数。这就提供了研究方程的解的实际个数（而不只是代数个数）的一种方法。

莱夫谢茨定理的一个重要发展是关于微分流形上椭圆型算子与椭圆型复形的阿蒂亚－辛格指标定理与阿蒂亚-博特不动点定理。

应用

利用Brouwer不动点定理和Kakutani不动点定理，严格证明了Walras经济的一般均衡的存在性和最优性，使得经济学形成了一个统一的方法论和分析框架。

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