不变因子

数学概念

不变因子是λ-矩阵理论中的概念，λ矩阵A(λ)最后化成的史密斯标准型，其对角线的元素d1(λ)，d2(λ)，...，da(λ)称为A(λ)的不变因子。

基本概念

设是n阶一矩阵，k是小于等于n的某个正整数，如果的所有k阶子式的最大公因子(它是首一多项式)不等于零，则称这个多项式为的k阶行列式因子，记为。如果的所有k阶子式都等于零，则规定的k阶行列式因子为零。

定义

设是一矩阵A( )的非零行列式因子，则

称为A( )的不变因子。

相关定理

定理1

相抵的λ一矩阵有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。

证明我们只需证明行列式因子在任意一种初等变换下不变就可以了，对第一种初等变换，交换λ一矩阵的任两行，显然A(λ )的i阶子式最多改变一个符号，因此行列式因子不改变。

对第二种初等变换，A(λ )的i阶子式与变换后矩阵的i阶子式最多差一个非零常数，因此行列式因子也不改变。

对第三种初等变换，记变换后的矩阵为B(λ )，则B( λ)与A(λ )的i阶子式可能出现以下3种情形：子式完全相同；B(λ )子式中的某一行(列)等于A(λ )中相应子式的同一行(列)加上该子式中某一行(列)与某个多项式之积；B(λ )子式的某一行(列)等于A( λ)中相应子式的同一行(列)加上不在该子式中的某一行(列)与某个多项式之积，在前面两种情形，行列式的值不改变，因此不影响行列式因子，来讨论第三种情形，设为B(λ )的t阶子式，相应的A( λ)的i阶子式记为，则由行列式性质得

其中由A( λ)中的i行与i列组成，因此它与A( λ)的某个i阶子式最多差一个符号，是乘以某一行(列)的那个多项式，于是A( λ)的行列式因子，故，这说明，可整除B(λ)的所有i阶子式，因此可整除B(λ )的i阶行列式因子，但B( λ)也可用第三种初等变换变成A( λ)，于是，由于及都是首一多项式，因此必有。

推论1

设n阶 λ一矩阵A( λ)的法式为

其中是非零首一多项式且，则A(λ )的不变因子为．特别，法式和不变因子之间相互唯一确定。

证明由定理1，A(λ )与有相同的不变因子，的不变因子为，从而它们也是A(λ )的不变因子。

推论2

设A(λ )，B( λ)为n阶 λ一矩阵，则A(λ )与B( λ)相抵当且仅当它们有相同的法式。

证明若A( λ)与B( λ)有相同的法式，显然它们相抵，若A( λ)与B( λ)相抵，由定理1知A( λ)与B( λ)有相同的不变因子，从而有相同的法式。

推论3

n阶 λ一矩阵A(λ )的法式与初等变换的选取无关。

证明设是A( λ)通过不同的初等变换得到的两个法式，则与相抵，由推论2可得。

定理2

数域上n阶矩阵A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵和具有相同的行列式因子或不变因子。

证明显然不变因子与行列式因子之间相互唯一确定，再由定理2，推论1及推论2即得结论。

之后特征矩阵的行列式因子及不变因子均简称为A的行列式因子与不变因子。

推论4

设是两个数域，A，B是上的两个矩阵，则A与B在上相似的充分必要条件是它们在上相似。

证明若A与B在上相似，由于，它们当然在上也相似，反之，若A，B在上相似，则与在上有相同的不变因子，也就是说它们有相同的法式，但在求法式的过程中只涉及多项式的加、减、乘及数的加、减、乘、除运算，而数域在加、减、乘、除运算下封闭，数域上的多项式在加、减、乘及数乘下也封闭，因此由推论3，法式中的不变因子多项式仍是上的多项式，与初等变换相对应的初等矩阵也是上的一矩阵，这就是说存在上的可逆一矩阵，使

从而

即与在上相抵，由定理2可得A与B在上相似。

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