不完全信息博弈

参与人的集合，行动顺序，可以采取什么行动，当参与人行动时他们知道什么，以及参与人的收益函数，当这些都是参与人的共同知识时，博弈被称为是完全信息的。在不完全信息（incomplete information）博弈中，至少有一名参与者对于以上内容不完全了解，例如不清楚其他人的收益函数。此时为了求解博弈，我们往往需要海萨尼转换使得不完全信息变为不完美信息的情形。

简介

不完全信息意味着参与人在进行博弈时不清楚博弈中的某些要素，例如在桥牌中玩家并不清楚其他玩家手中的牌，拍卖中竞拍人并不清楚其他竞拍人对物品的估价。与之相反，围棋可看作完全信息博弈，因为双方完全清楚游戏规则，当前局面对方可能的下法等信息。下面给出一个简单的不完全信息博弈的例子：

考虑两家企业的行业竞争，假定这个行业已经有一个在位者（企业1）和一个潜在的进入者（企业2），企业1需要决定是否建立一个新工厂，企业2需要决定是否进入该行业。但是企业2不知道企业1建立新工厂的成本是1.5还是3，但企业1自己知道。于是此博弈的收益如下所示：

分析上述博弈，对企业1来说，若企业1建厂成本高，那么不建厂是严格优势策略，选择不建厂即可；若企业1建厂成本低，则没有严格优势策略，需要考虑企业2的策略；对企业2来说，选择不进入就会获得固定的0收益，选择进入则收益取决于企业1是否建厂。显然若企业2知道企业1建厂成本高还是低，博弈就变为了一个简单的静态博弈，此处博弈分析的复杂性正是不完全信息造成的。

海萨尼转换

为了建模博弈中存在的不完全信息，可以不妨设企业2估计企业1建厂成本高的概率为p1，建厂成本低的概率为1-p1。但计算收益时还需要知道企业1的策略，为此企业1必须估计企业2认为企业1建厂成本高的概率为p2，企业2认为企业1建厂成本低的概率为1-p2。依次类推，企业2还需考虑企业1如何估计企业2对企业1建厂成本的高的概率，这样从某一初始推断出发而形成了越来越高阶的关于推断的推断问题，被称海萨尼称为“递阶期望”，而海萨尼通过将某一先验分布设为公共知识来解决这一问题。

海萨尼转换（Harsanyi transformation）是处理不完全信息博弈的标准方法，这一方法的核心是：引入第三方“自然”首先行动，按照某一概率分布指定博弈中不完全的信息，且这一概率分布为公共知识。例如上述例子中就可以假定企业1以概率p建厂需要高成本，以概率1-p建厂需要低成本，也即将博弈转换为下面的形式：

贝叶斯均衡

在进行了海萨尼转换后，就可对博弈进行求解。在上面的例子中，博弈的参与人只同时决策一次，故为不完全信息的静态博弈；博弈中的不完全信息实际上是玩家1的收益函数，也即玩家1的私人信息（private information），故可以用玩家1的类型（type）代表这一点，将博弈转化为贝叶斯博弈（Bayesian game）。关于贝叶斯博弈的详细定义此处略去，与之对应的均衡为贝叶斯均衡（Bayesian Nash equilibrium），它是纳什均衡在不完全信息下的自然扩展，可以认为是在给定了“自然”选择所有参与人类型的概率分布后的纳什均衡。

在上面行业竞争的例子中，设企业1在建厂成本低时建厂的概率为x（在建厂成本高时企业1一定不会建厂），企业2进入市场的概率为y，那么策略组合就可以用二元组（x，y）表示。企业2的收益可以表示为：

故企业2的最优反应为：

，如果

类似的，建厂低成本的企业1的收益可以表示为：

故建厂低成本的企业1的最优反应为：

，如果

要求此博弈的贝叶斯均衡，就是求这样的策略组合（x，y），使得x是企业1的最优反应，同时y是给定p下企业2的最优反应。故我们可以求出以下3个均衡：

更多例子

新产品开发博弈

两家企业需要同时决定开发或者不开发某种成品，但是他们均不了解市场需求是高还是低，收益情况如下所示：

在此博弈中，不完全信息来自参与人对博弈所处状态的不了解，而不是对于其他参与人类型的不了解。

信号博弈