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不相容可观察量

物理系统

在物理学里，特别是在量子力学里，处于某种状态的物理系统，它所具有的一些性质，可以经过一序列的物理运作过程而得知。这些可以得知的性质，称为可观察量（observable）。假若两种可观察量的对易算符不等于0，则称这两种可观察量为“不相容可观察量”。

可观察量
在物理学里，特别是在量子力学里，处于某种状态的物理系统，它所具有的一些性质，可以经过一序列的物理运作过程而得知。这些可以得知的性质，称为可观察量（observable）。例如，物理运作可能涉及到施加电磁场于物理系统，然后使用实验仪器测量某物理量的数值。在经典力学的系统里，任何可以用实验测量获得的可观察量，都可以用定义于物理系统状态的实函数来表示。在量子力学里，物理系统的状态称为量子态，其与可观察量的关系更加微妙，必须使用线性代数来解释。根据量子力学的数学表述，量子态可以用存在于希尔伯特空间的态矢量来代表，量子态的可观察量可以用厄米算符来代表。
数学表述
本征态
假设，物理量O是某量子系统的可观察量，其对应的量子算符 ，可能有很多不同的本征值 与对应的本征态 ，这些本征态 ，形成了具有正交归一性的基底：
其中， 是克罗内克函数。
任何描述这量子系统的量子态 ，都可以用这基底的本征态表示为
其中， 是复系数，是在量子态 里找到量子态 的概率幅。
假设，量子态 等于这些本征态之中的一个本征态 ，则对于这量子系统，测量可观察量O，得到的结果必定等与本征值 ，概率为1，量子态 是“确定态”。
统计诠释
根据统计诠释，对应于可观察量的量子算符可能有很多本征值，测量结果只能是其中一个本征值，而且，每一个本征值出现的机会呈概率性。测量这个动作会将量子系统的量子态改变为对应于本征值的本征态，并且，在之后短暂片刻内，量子系统的量子态仍旧是这本征态。
假设，某量子系统的量子态为
测量这个动作会将量子系统的量子态改变为算符 的一个本征态。假设量子态改变为本征态 ，则改变为这本征态的概率为 ，测量结果是本征值 ，得到这本征值的概率也为 。在测量之后短暂片刻内，量子系统的量子态仍旧是本征态 。
将算符 作用于量子态 ，会形成新量子态 ：
从左边乘以量子态 ，经过一番运算，可以得到
所以，每一个本征值与其概率的乘积，所有乘积的代数和就是可观察量O的期望值：
厄米算符
每一种经过测量而得到的物理量都是实数，因此，可观察量O的期望值是实数：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则 。因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表现可观察量的算符，都是厄米算符。
不相容可观察量
假若两种可观察量的对易算符不等于0，则称这两种可观察量为“不相容可观察量”：
其中， 、 分别是可观察量A、B的算符。
这两种算符 与 绝对不会有共同的基底。一般而言， 的本征态与 的本征态不同假设量子系统的量子态为 。对于算符 ，所有本征值为 的本征态 ，形成一个基底。量子态 可以表示为这组基底本征态的线性组合：
其中， 是复系数，是在量子态 里找到量子态 的概率幅。
对于算符 ，所有本征值为 的本征态 ，形成了另外一个基底。量子态 可以表示为这组基底本征态的线性组合：
其中， 是复系数，是在量子态 里找到量子态 的概率幅。
对于量子系统的可观察量A做测量，可能得到的结果是各种本征态 的本征值 ，获得这些不同结果的机会具有概率性，可以表达为概率分布，结果为 的概率是 。
假设测量的结果是本征值 ，则可以推断，在测量之后短暂片刻内，量子态是本征态 。假若立刻再测量可观察量A，由于量子态仍旧是本征态 ，所得到的测量值是本征值 概率为1。假若立刻再对本征态 测量可观察量B，则会得到统计性的答案。假设测量的结果是本征值 ，则可以推断，在测量之后短暂片刻内，量子态是本征态 。
根据不确定性原理，
设定 。假设，A与B是两个不相容可观察量，则 。而A的不确定性与B的不确定性的乘积 ，必定大于或等于 。
实例
为了具体计算位置与动量的期望值，可以将量子态表现于位置空间，以位置空间的波函数来表示，使用对应的代数算符。
位置与动量
位置x，动量p都是可观察量，它们的算符都是厄米算符：
角动量
在三维空间里，角动量算符的x-分量 是厄米算符。因为
其中，y与z分别是位置的y-分量与z-分量， 与 分别是动量的y-分量与z-分量。
类似地，角动量算符的y-分量 也是厄米算符。
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