不连续系统

动态系统

不连续系统是系统状态不随时间作平滑连续变化的动态系统。包括由于数据采集是在离散时间点上进行而导致的非连续变化。

藕合不连续系统中同步集团的动力学特性

同步是指两个或多个相互作用的动力学系统，在藕合的作用下，经过一段时间的演化，最终达到完全相同的状态。同步现象广泛地存在于称合动力学系统中，例如：生物系统、电路系统、物理系统、化学系统以及社会系统等。该现象是由网络中节点动力学之间的藕合作用产生的。随着同步现象的深入研究，发现了多种类型的同步现象如：完全同步、相同步，滞后同步和部分同步等。其中部分同步由于其在脑科学、工程、生态和社会等领域的重要应用价值，研究工作主要基于典型连续动力学系统所组成的网络。然而在动力学系统中，除连续系统外，还有另一系统，即不连续系统。送类系统的状态常常在相空间的某些区域上表现出突变或不连续的特性，广泛存在于实际系统中，例如：神经元，电路，张弛振子和冲击振子。

不连续系统的分岔

连续系统的非线性动力学研究已有了许多进展，不连续动力学系统作为动力学范畴的另一个分支也已经引起了研究者的重视。在不连续系统中发现了许多与连续系统中相同的现象，如倍周期分岔，鞍节点分岔，同宿轨道等等，这些现象都是系统状态远离不连续边界时产生的。除此之外，还发现了一些不连续系统所特有的现象，即不连续诱导的分岔（discontinuity－induced bifurcations（DIBS））。简单介绍这几种不连续诱导的分岔产生的机制。

边界碰撞分岔：对于给定的不连系统，当系统的参数发生变化时，系统的固定点也随着变化，当固定点的值精确的落在不连续边界上时，系统从一个吸引子变化成另一个吸引子形成边界碰撞分岔。

极限环的擦边分岔：不连续系统在特定的参数下会产生极限环状态，当极限环的流与不连续边界相切时将产生极限环的擦边分岔。

滑动和粘联分岔：菲利波夫系统中的极限环状态在滑动时是结构不稳定的，极限环的一部分轨道和不连续边界接触，在不连续边界上滑动，形成新的吸引子。

边界交叉分岔：菲利波夫系统中另一个可能的分岔就是边界交叉分岔。即某一维度上的极限环进入了余下维度的不连续边间所构成的空间，产生边界交叉分岔。

藕合不连续系统的现状

随着复杂网络研究的深入，帮合不连续系统的同步也引起了研究者的兴趣，并且发现了一些有趣的现象。

稳定混沈是帮合分段线性系统中发现的一种特殊的超长暂态，计算称合系统的李雅普诺夫指数发现其为负值，但是系统却呈现不规则的状态，而且送一过程持续很长的时间。它与系统的动力学方程有很大关系，当局部动力学呈现出分段线性时就能够出现迭种现象。赖载兴在藕合不连续系统中发现了另一类稳定的不规则的超长暂态，送一暂态的产生和系统的不连续边界有很大关系：藕合系统中节点的状态值在演化过程中，逐步向不连续边界靠拔，然后状态值又突然的偏离不连续边界，这样的过程一直重复下去形成不规则的超长暂态，研究发现不连续边界将系统的相空间划分成好多部分，节点的状态值实际上是在这些部分之间W某种方式来回跳跃。

同步转换的不连续性。Cencini和Torcini研究发现，藕合分段线性系统的同步转换具有不连续性，在低维藕合系统当中可以找出一个系统同步临界藕合强度。但对于高维系统，由于系统的不连续性，很难找到确定的临界藕合强度。研究了帮合帐篷型映射，位移映射等简单系统，很少关注由边界碰撞形成的集体动力学行为。而且具有边界碰撞行为的动力学系统常呈现出比较丰富的动力学现象，因此研究具有边界碰撞的藕合不连续系统，期望在其中有更多的新现象发生。

不连续系统同步转换过程中的多吸引子共存

耦合不连续系统的同步转换过程中的动力学行为，发现由混沌非同步到混沌同步的转换过程中特殊的多吸引子共存现象。通过计算耦合不连续系统的同步序参量和最大李雅普诺夫指数随耦合强度的变化，发现了较复杂的同步转换过程：临界耦合强度之后出现周期非同步态 (周期性窗口)；分析了系统周期态的迭代轨道，发现其具有两类不同的迭代轨道：对称周期轨道和非对称周期轨道，这两类周期吸引子和同步吸引子同时存在，系统表现出对初值敏感的多吸引子共存现象。分析表明，耦合不连续系统中的周期轨道是由于局部动力学的不连续特性和耦合动力学相互作用的结果。最后，对耦合不连续系统的同步转换过程进行了详细的分析，结果表明其同步呈现出较复杂的转换过程。

耦合不连续系统

随着不连续系统中各种新现象的发现，在研究耦合不连续系统的同步时，发现：在低维耦合系统中可以找出一个系统同步临界耦合强度，但对于高维系统，由于系统存在很强的不连续特性，很难找到确定的临界耦合强度。本文最近对耦合不连续系统的研究发现了其有别于耦合连续系统的动力学新特性。例如：发现了扩散耦合不连续系统中的自激发的循环同步斑图，其形成机制就与不连续特性密切相关。此外，在全局耦合不连续系统中发现了周期吸引子，其形成机理也与不连续特性有关。但现有的耦合不连续系统的同步研究工作，缺乏对同步转换过程的系统研究。由于同步转换在神经系统的信息处理过程中扮演着非常重要的角色，且神经元模型常表现出放点的不连续性，因此有必要对耦合不连续系统的同步转换过程进行仔细的研究，此结果将有助于从理论角度研究神经系统同步转换的一般规律。

耦合不连续系统的同步转换

耦合不连续系统的同步转换过程，发现了一类复杂的同步转换过程。随着耦合强度的增加，耦合不连续系统呈现出了丰富的多吸引子共存现象。通过分析耦合不连续系统中的周期迭代轨道特性，发现其是由局部动力学(不连续所产生的非线性)和耦合动力学项相互作用的结构。当局部动力学和耦合动力学项达到平衡时，迭代轨道将被限制在相空间的特定区域，从而形成周期轨道。由于耦合不连续系统具有筛状的吸引域特性，耦合不连续系统很容易呈现出吸引子共存现象。研究了耦合不连续动力学同步转换过程，有助于理解耦合系统的集体动力学，丰富人们对复杂系统同步过程的认识。由于实际系统经常表现出不连续特性，因此，此研究有助于实际系统的同步过程。

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