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不适定问题

数学物理方程定解问题

经典的数学物理方程定解问题中，人们只研究适定问题。适定问题是指定解满足下面三个要求的问题：① 解是存在的；② 解是唯一的；③ 解连续依赖于定解条件，即解是稳定的。这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题。

简介
20 世纪50 年代，前苏联数学家吉洪诺夫(A.H.Tychonoff) 提出的正则化方法是较为重要的一种。
例举
不适定问题的最典型的例子是拉普拉斯方程的柯西问题。其他的一些不适定问题有：第一种弗雷德霍姆积分方程、反向热导方程的边值问题、波动方程的狄利克雷问题和不少微分方程的反问题，等等。
第一类弗雷德霍姆积分方程
其中，a,b 是常数，K(x,s)、f(x) 都是已知函数，φ(s) 是未知的。一般说来该方程是无解的；即使有解，解也不一定唯一；而且即使存在唯一解，解也是不稳定的。对于一个给定的定解问题，如果条件 ③不满足，那么就称为阿达马(J.Hadamard)意义下的不适定问题，如阿达马例。其他一些不适定问题有逆向热传导问题以及其他反问题等。
应用
应用当初
在一段时间里，人们认为不适定问题不反映任何物理现象，而无研究价值。
应用领域
随着生产和科学技术的发展、应用的迫切需要，各种各样的不适定问题出现在许多领域中，如地球物理、连续介质力学、自动控制、大气物理、全息照相、天体力学、热力学、 电磁学、 热扩散理论、电子聚焦问题等，这些问题一般没有精确解，为了求得具有一定精度的稳定近似解，已经提出许多有效的解法。
拉普拉斯方程的柯西问题、波动方程对非空向 (nonspace-like)初始流形的初值问题，在地球物理勘探的资料解释和数据处理中，皆具有重要的应用。
发展
求解条件
由于这些问题的数据常常是通过测量给出的近似值，问题通常没有精确解。因此，人们就去寻找满足方程但只是近似地适合定解条件的所谓近似解，或近似地满足方程的近似解。当然，这些近似解一般是没有惟一性的，但是若对近似解所在的函数类加以适当的限制，例如紧性的限制，便可以保证近似解对数据的连续依赖性。
求解备注
在求问题数值解时，须明确在什么度量下对近似解加以紧性限制，使问题变为适定，且切合实际的需要。
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