主观期望效用理论

数学理论

主观期望效用理论模式是建立在Von Neumann和Morgenstern所设计的公理体系基础上的。包含效用关系的完备性（Completeness）、传递性（transitivity）与替换性（Substitution）、决策者偏好的一致性（preference）等，但后来的研究发现该理论的优势原则和无差异原则与现实决策不符。主观期望效用理论仍坚持，每个结果都是期望概率与其价值概率的乘积。但是，这个价值成分是主观的，依赖于个体差异。

理论内容

这个模型假定，人们作出决策时是根据主观期望效用值的高低来进行的。我们可以通过了解概率和一系列决策选项的效用，就可以根据这个模型预测出一个“合理”的或内在一致的选择。

主观期望效用模型由于其简单灵活,已经成为分析人们在不确定情况下决策行为的重要理论。但是由于现实世界的复杂性,人们不可能设定单个先验分布来描述不确定事件,因此主观期望效用模型在实际决策中是有缺陷的。针对这一现象,人们对主观期望效用理论的公理体系进行了一些改造,主要有Schmeidler提出的Choquet期望效用模型及Gilboa和Schmeidler提出的多先验期望效用模型。

推理

定理：若决策者按主观概率模型对事件结果发生的可能性作出主观反应，则所有结果的主观概率之和等于1，即：

由主观概率模型和安全系数的性质可知，定理的结论是显然的。

推论：若一不确定性选择仅有两个可能结果 a1 ＞ a2 ，它们的客观概率分别为p1、1 − p1，则对于决策者所偏好的结果a1 来说，其主观概率为该结果的客观概率所对应的安全系数SC(p1)，另一个结果a2 的主观概率则为1－SC(p1)。这个推论是主观概率模型的一个特例。

定理：说明用主观概率模型解决了直接用安全系数代替客观概率和一些等级依赖理论中出现的总概率和不为1 的问题；用主观概率πi 代入期望效用模型中代替客观概率pi，就得到了主观期望效用模型（Subjective Expected Utility Model）：

案例分析

主观期望效用模型在保险产品定价中的应用。

保险学说到底是一门关于如何用财务手段处理风险的科学，保险定价实质上是对风险的定价。传统的期望效用理论认为保险定价的可行性缘于保险人与投保人在效用函数上的差别，保险人的效用函数相对于投保人的更不“惧怕”风险，对风险的定价比投保人的低，使得G＜H,从而保险价格P 可以在介于由G与H之间实现。

但是由于效用函数具有很强的主观性，没有足够的客观证据或理论证明保险人的效用函数的Arrow-Pratt 指数会比投保人的低，从而使传统的效用理论下的定价模式受到了广泛的质疑。下面，我们运用主观期望效用理论的观点，从保险人和投保人所处于的不同的风险环境出发，研究保险人与投保人在确定性效应函数值上的差异，进而对保险定价及定价的可行性进行分析。由于效用函数的主观性，我们很难客观的判断保险人与投保人的效用函数的异同，在不失一般性的前提下可以假设两者的效用函数是没有差别的，将分析的重心放在确定性效应函数值v(p)上；同时，接受Daniel Kahneman和Amos Tversky的观点，即认为决策者的效用值只与其财富的变化值有关，而与财富的初始值无关。

首先从投保人的角度来考察其确定性效应函数值v1(p)。假设财产持有人面临着以期望值为q 的概率失去某一额度的财产W 的风险，现在要考虑的问题就是他会愿意以什么样的价格为这份财产投保？

由于投保人失去W 的平均可能性是q，那么，他仍拥有这一部分财产的可能性p=1-q，我们也可以从另一个角度认为他以p 的概率“获取”W，以q 的概率什么也得不到。那么，由主观期望效用理论，记该财产持有人的确定性效应函数值为v1(p)。保险公司也是害怕风险的，一般通过核保拒绝承保风险很大的标的，即q 的值比较小，在这种情况下p＞ε，从而一般有v1(p)＜p，也就是说财产持有人主观上认为自己不失去W 的可能性达不到p，这里除了因为确定性效应函数是凸函数以外，还可以从下面两个方面进行说明：

1、风险厌恶。大量的实证研究已经证明了在一般情况下，人们会产生一种悲观主义的心态，所以财产持有人往往由于有害怕失去财产的心理，所以会导致其主观上将q 的值放大，使他们认为自己仍将持有W 的可能性的自信心不足。

2、q 的不确定性。在现实中，人们一般对损失的概率q 都只有一个期望的概念，但具体到自身面对的风险，其概率的取值是不确定的。从上面提到的Ellsberg 悖论中可以看出，人们对不确定的风险的厌恶程度要强于对确定性的风险的厌恶程度。所以，q 的不确定性会导致人们对这种风险的厌恶程度加深。

综上所述，在面临失去财产的风险时，财产持有人对仍然拥有该财产的确定性效应函数值v1(p)会明显地下凸，即：v1(p)＜p。

现在，再从保险人所处的风险环境分析保险人的确定性效应函数值。若是考虑每一单位保单，在无免赔全额投保的情况下，保险人一旦承保，则投保人所面临的风险便转移到保险人身上了，在这种意义下，保险人（承保时）所面对的风险与投保人（不投保时）所面对的风险是没有区别的，这时，两者的确定性效应函数也应该没有差别。但是，如果我们从整体上进行考虑，情况就不一样了，财产持有人所面临的风险是单一的、不稳定的风险；而保险人一般会承保大量同质或类似的标的，这样，按照概率论中的大数定律，保险人所面对的风险环境是一个相对比较稳定的、有规律的风险环境，而且其承保的标的越多，损失（索赔）发生的概率（或比例）就越稳定，保险人所面对的风险环境也就越稳定。这样，保险人对损失发生概率的主观看法就会较投保人（财产持有人）更接近于客观概率，从而其确定性效应函数值v2(p)也将更接近于p，从而一般有：

v1(p) ＜ v2(p)＜p　（1）

实际上，现实中保险公司对每一类型的保单都有数以万计保户，所以，在理论上保单发生索赔的概率是非常稳定的，可以认为v2(p)=p。

因此，保险人和投保人所处的风险环境是不一样的，从而他们对风险的主观看法也将不一致，所以，他们各自的确定性效应函数v(p)的曲线是不一样的，有如下图1 所示：（假设v2(p)=p）图1 保险人、投保人的确定性效应函数(The Certainty Effect Function of Insurers & Insured’s)

对于财产W 所面临的风险，与传统的期望效用理论的原理类似，财产持有人愿意投保的最高保费（临界保费）应该为其在投保时的主观期望效用与不投保时的主观期望效用相等时的保费值H，满足：

(2)

而对于保险人来说，他所愿意承保的最低保费（临界保费）G也是在承保时的主观期望效用

与不承保时主观期望效用值u(0)相等时的保费值。满足：

(3)

由(3)式得：

(4)

∵ v2(p)＞ v1(p) 且 u(G)+u(W-G)＞u(W)

∴ u(W − G) ＞ u(W − H)

∴G ＜ H 　（5）

这样，保费价格P 在一般情况下（只要投保人的确定性效应函数值是下凸的）总可以在介于G与H之间实现，这是由于保险人和投保人所处的不同的风险环境的结果，与各自的效用函数无关，其具体的取值取决于竞争状况及保险公司的内部管理效率。

从上面的整个推理过程可以看出，保险人和投保人之间保险合同能够签订的原因关键在于式1的成立，即v1(p)＜v2(p)＜p。这个不等式包含两个条件：首先，保险人必须能够聚集大量的同质或类似的保单，因为只有这样才能使自身所面临的风险环境趋于稳定，才能确保保险人所依赖的大数法则的实现，才能在风险环境上保持对投保人的优势；其次，保险人设计的保单所涉及的风险必须具有针对性，必须充分分析投保人的心理特征，针对投保人所厌恶的风险来设计保单，这样才能保证式1 的成立。

最后，需要特别指出的是，虽然保险人处在一个相对稳定的风险环境之中，但并不意味着保险公司的经营是没有风险的。保险公司除了要面对投机风险、管理风险、财务风险以外，还有两个基于承保标的的潜在的风险：一是风险的积聚，现实社会中常常会因为天灾人祸如地震等导致大量的标的在同一时间内发生损失从而导致在短时间内“积聚”了大量的索赔，从而可能影响到保险人的财务稳定甚至导致危机；二是巨灾风险，有时候虽然只有一件或少数几件索赔发生，但由于承保标的发生的损失过于庞大，如航空事件、9.11 事件等，这种巨大的损失额往往使保险人促不及防，是保险公司极为忌讳的风险。在这两种情况下，保险人所依赖的大数法则已经失去了作用，保险人面对的这两类风险也是不稳定的，这时候保险人就变得和投保人一样“惧怕”风险了，他们一般都是选择安排再保险来对自己所面对的这些风险进行“保险”，使得在发生巨额索赔时仍能够维持财务上的稳定。这也说明传统的期望效用理论认为保险人与投保人之间对财富或其他物质的主观看法存在差异是缺乏客观依据的，在面对风险损失时，两者其实是同样存在风险回避意识的。

综上所述，可以得出结论：保险定价的可行性并不在于保险人与投保人对财富的主观看法——效用函数上存在差别，而是在于保险人与投保人所处的不同的风险环境，保险人通过承保大量的同质标的使其所面临的损失概率趋于稳定，提高了自己的确定性效应，从而有“能力”承保投保人的风险，当保险人自身也面临不稳定的风险时，也是“惧怕”风险的，将通过再保险的方式对自己所面临的风险进行“保险”。同时，我们可以从中得到一个启示就是：心理因素在保险精算中占据着重要的地位，保险人设计的保单所涉及的风险必须具有针对性，必须在充分分析投保人的心理特征的基础上，针对投保人所厌恶的风险来设计保单，这样才能吸引足够的消费者来购买保单，确保大数法则的实现。

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