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主除子

数理科学术语

主除子(principal divisor)域中一个元素决定的除子，主理想概念的推广。如果两个卡吉耶除子相差一个主除子，则两个卡吉耶除子称为是线性等价的。

简介
一个卡吉耶除子如果是自然映射 (M*X/𝓞*X)的像，则称为主除子。如果两个卡吉耶除子相差一个主除子，则两个卡吉耶除子称为是线性等价的。
除子
[divisor]
在代数几何中，除子是代数簇的余维数为1的子簇的推广。有两种常用的除子：韦伊除子（Weil divisor）和卡吉耶除子（Cartier divisor）。
韦伊除子
韦伊除子就是指代数簇或解析空间X里余维数为1的不可约闭子空间Y的形式的有限整线性组合 。当所有的 时，韦伊除子构成一个群Div（X）。当X是光滑代数簇时。韦伊除子的概念与余维数为1的代数闭链的概念相同。
设X是正规概形，f是X上有理（解析的情形为亚纯）函数，主韦伊除子（principal Weil divisor）被典范的定义为 。这里 是 f 在𝓞X,Y里的代表元关于子簇Y的环𝓞X,Y的离散赋值， 是个整数，且除了有限多个Y之外， 。如果 ，其中 则韦伊除子 称为零点除子（divisor of the zeros）， 称为函数f的极点除子（divisor of the poles）。
若两个韦伊除子的差是一个主韦伊除子，则称这两个除子线性等价（linear equivalent）。Div(X)关于线性等价的商群称为概形X的除子类群（divisor class group），记为CI(X)。
卡吉耶除子
卡吉耶除子是指环空间(X,𝓞X)上除子的芽层 /𝓞*X的一个整体截面。这里MX表示X上亚纯（或有理）函数的芽层，即使得每个开子集 对应环 (U,𝓞X）的全分式环的层，而 和𝓞*X则分别是 和𝓞X里可逆元的层。一个卡吉耶除子可被一族局部方程 所确定，其中{ Ui } 是X的开覆盖，函数 则是层𝓞*X在 上的截面。一个卡吉耶除子如果是自然映射 (M*X/𝓞*X)的像，则称为主除子。两个卡吉耶除子称为是线性等价的，如果二者相差一个主除子。使得 𝓞*Xx的x∈M的集合称为除子的支集（support of the divisor ）。卡吉耶除子类 (M*X/𝓞*X)关于线性等价的商群记为CaCI(X)。
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