二元函子

数学名词

二元函子(bifunctor)是范畴论以及同调代数、代数几何等学科中常用的函子。若C1，C2，C为三个范畴，则从C1，C2的积范畴C1∏C2到C的函子称为二元函子，同调代数中最重要的Hom函子等都是二元函子。

定义

给定积范畴B×C与范畴D，则函子S:B×C→D称为B与C上的二元函子。

简介

二元函子(bifunctor)是范畴论以及同调代数、代数几何等学科中常用的函子。若C1，C2，C为三个范畴，则从C1，C2的积范畴C1∏C2到C的函子称为二元函子，同调代数中最重要的Hom函子、函子等都是二元函子。

积范畴与二元函子

设C与D是两个范畴，作范畴C×D如下:ob(C×D)=ob(C)×ob(D)，其中对象写作(A,B)，A∈obC，B∈obD，对(A，B)∈ob(C×D)，A',B'∈ob(C×D)，规定HomC×D((A,B),(A',B'))=HomC(A,A')×HomD(B,B')，态射合成定义为(g,g')(f,f')=(gf,g'f')，恒等态射1(A,B)=(1A,1B)。易验证C×D也是范畴，称之为范畴C与D的积范畴。

设F:C×D→E是乘积范畴到范畴E的函数，它对每个(A,B)∈ob(C×D)，给出F(A,B)∈obE，把C×D中的态射(f,g)变成E中的态射F(f,g)，并且任意给定A∈obC，则F(A,-):D→E是函子(或逆变函子)；任意给定B∈obD，也使F(-,B):C→E是函子(或逆变函子)，则称F是二元函子。

正合二元函子

正合函子是阿贝尔范畴间的一种重要的函子，即保持短正合列的函子。设F：C→D为阿贝尔范畴间的一个共变函子，若对C中任意的正合列

有

是D中的正合列，则称F为左正合函子，若对C中任意的正合列

有

是D中的正合列，则称F为右正合函子，同时为左正合与右正合的函子称为正合函子。对偶地，可定义反变函子的左、右正合性与正合性，若F为左(右)正合函子，则F变单(满)态射为单(满)态射且对任意的态射β，

左、右正合函子一定是加性函子。

在同调代数的基本函子中(M表R模)，Hom(M，-)为左正合函子(它正合的充分必要条件是M为投射R模)；Hom(-，M)为左正合反变函子(它正合的充分必要条件是M为内射R模)；M-与-N(M为右R模，N为左R模)都是右正合函子(它们正合的充分必要条件是M(N)为平坦R模)；阿贝尔范畴中正向极限函子(反向极限函子)为右(左)正合函子。对二元函子F，若F关于它的两个变元都是正合的(或左正合的、右正合的)，则称F为正合的(或左正合的、右正合的)二元函子。

范畴论的Hom函子

范畴论的Hom函子(functor Hom in Category theory)亦称共变态射函子或第一表示函子，范畴论中的重要函子之一，在同调代数中有着重要应用。设C为一个范畴，Set为集合范畴，对定义函子HomC(A，-):C→Set如下：

HomC(A，-)(X)=HomC(A，X) (X∈C)，

HomC(A，-)(f)：HomC(A，X)→HomC(A，Y)，

使HomC(A，-)(f)(g)=fg，f：X→Y在C中，g∈HomC(A，X)。这个HomC(A，-)称为范畴C到Set的Hom函子。当C为加性范畴时，这个函子又是C到阿贝尔群范畴AG的函子，在同调代数中更显出其重要性。

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