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二元函数

数学名词

二元函数（function of two variables）与一元函数的情形相仿，记号f与f（x，y）的意义是有区别的，但习惯上常用记号“f（x，y），（x，y）∈D”或“z=f（x，y），（x，y）∈D”来表示D上的二元函数f.表示二元函数的记号f也是可以任意选取的.例如也可以记为z=φ（x，y），z=z（x，y）等.

定义
设是二维空间的一个非空子集，称映射为定义在上的二元函数，通常记为或，其中点集称为该二元函数的定义域，称为自变量，称为因变量.
上述定义中，与自变量的一对值（即二元有序实数组）相对应的因变量的值也称为在点处的函数值，记作，即.函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，记作，即.
基本概念
内点、外点、边界点
给定平面上一个点集，对于来说，平面上任一个点必为下列三种点之一：
（1）之内点
若对于点，存在某个，使Uδ（M0）⊂E，即存在以为心之充分小的开圆整个属于，则称为之内点.
（2）之外点
若对于点，存在某个，使Uδ（M0）∩E=Ø，即存在以为心之充分小的开圆与不交，则称为之外点.
（3）之边界点
若对于点，任意的都使Uδ（M0）中既有之点，又有非之点，即对任意且，则称为之边界点.
聚点
设点，点集，如果对于任意给定的，点P的去心邻域 内总有中的点，则称是的聚点.
开集、闭集、边界
若点集中之点，都是之内点，则称为开集；若点集包含之一切边界点，则称为闭集.
之一切边界点组成的集合，称为之边界，记作.
连通集
若集合E中任意两点可以由一条完全在中的折线连接起来，则称为连通集.
开区域、闭区域
连通的开集称为区域或开区域.
开区域连通它的边界一起所构成的点集称为闭区域.
有界集、无界集
对于平面点集，如果存在某一正数，使得，其中是坐标原点，则称为有界集，否则为无界集.
极限
设二元函数的定义域为，是的聚点.如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当 时，都有成立，那么就称常数为函数当时的极限，记作或，也记作或.
为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限.
必须注意，所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，都无限接近于A.因此，如果以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于时，即使无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当以不同方式趋于时，趋于不同的值，那么就可以断定此函数的极限不存在.
关于二元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则.
连续性
如果函数在点处极限存在且为，即有 ，则称函数在处连续.
如果函数在区域内的每一点处都连续，则称函数在内连续.
一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
在有界闭区域上的二元连续函数，必定在上有界，且能取得它的最大值和最小值.
在有界闭区域上的二元连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.
在有界闭区域上的二元连续函数必定在上一致连续.
设为的定义区域，若对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于上的任意两点，只要当时，都有，则称在上一致连续.
可微性
偏微商
令二元函数的自变量保持定值，这时就成为自变量的一元函数.如果这个一元函数在处的微商存在，则称此微商为函数在点处对的偏微商（或偏导数），记作或， ， .
例如，函数在处对的偏微商就是一元函数在处的微商，即.
如果函数在区域内每一点处都有偏微商，，则称这两个偏微商也是内和的二元函数.
二元函数的两个偏微商，仍然是关于和的二元函数.如果将这两个偏微商再对或求偏微商，则得出函数的二阶偏微商，显然二元函数的二阶偏微商共有四个，它们是
， ， ， .
也常用下列记号表示它们：
，
，
，
.
上面的第二个与第三个二阶偏微商中包含着对不同自变量的偏微商，这叫混合偏微商.
对二阶偏微商再对或求多次偏微商，可得三阶偏微商、四阶偏微商……当且时，阶偏微商称高阶偏微商（高阶偏导数）.
全微分
设二元函数在点的某邻域内有定义，若自变量与各有增量与，则称
为函数在点的全增量.
如果存在常数A与B，使得函数在点的全增量可以表示为，其中 ，则称为函数在点的全微分，记作 或，这时称函数在点处可微.
若函数在区域内任一点处都可微，则称函数在内是可微的.
若函数在点处可微，则函数在点处的两个偏微商都存在，并且
，其中是全微分定义中的常数.
若函数的两个偏微商在点处连续，则函数f（x，y）在点处可微.
几何意义
设为曲面上的一点，过作平面，与此曲面相交得到一曲线，该曲线在平面上的方程为，可得：导数，即偏导数，的几何意义就是曲线在点处的切线（记作：）对轴的斜率.
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