二叉堆

特殊的堆

二叉堆是一种特殊的堆，二叉堆是完全二元树（二叉树）或者是近似完全二元树（二叉树）。二叉堆有两种：最大堆和最小堆。最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

存储

二叉堆一般用数组来表示。如果根节点在数组中的位置是1，第n个位置的子节点分别在2n和 2n+1。因此，第1个位置的子节点在2和3，第2个位置的子节点在4和5。以此类推。这种基于1的数组存储方式便于寻找父节点和子节点。

如果存储数组的下标基于0，那么下标为i的节点的子节点是2i+ 1与2i+ 2；其父节点的下标是⌊floor((i− 1) ∕ 2)⌋。函数floor(x)的功能是“向下取整”，或者说“向下舍入”，即取不大于x的最大整数（与“四舍五入”不同，向下取整是直接取按照数轴上最接近要求值的左边值，即不大于要求值的最大的那个值）。比如floor(1.1)、floor(1.9)都返回1。

如下图1的两个堆：

图1 将这两个堆保存在以1开始的数组中：

对于一个很大的堆，这种存储是低效的。因为节点的子节点很可能在另外一个内存页中。B-heap是一种效率更高的存储方式，把每个子树放到同一内存页。

如果用指针链表存储堆，那么需要能访问叶节点的方法。可以对二叉树“穿线”(threading)方式，来依序遍历这些节点。

基本操作

在二叉堆上可以进行插入节点、删除节点、取出值最小的节点、减小节点的值等基本操作。

插入节点

在数组的最末尾插入新节点。然后自下而上调整子节点与父节点（称作up-heap或bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up操作）：比较当前节点与父节点，不满足堆性质则交换。从而使得当前子树满足二叉堆的性质。时间复杂度为。

删除根节点

删除根节点用于堆排序。

对于最大堆，删除根节点就是删除最大值；对于最小堆，是删除最小值。然后，把堆存储的最后那个节点移到填在根节点处。再从上而下调整父节点与它的子节点：对于最大堆，父节点如果小于具有最大值的子节点，则交换二者。这一操作称作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至当前节点与它的子节点满足堆性质为止。

构造二叉堆

一个直观办法是从单节点的二叉堆开始，每次插入一个节点。其时间复杂度为。

最优算法是从一个节点元素任意放置的二叉树开始，自底向上对每一个子树执行删除根节点时的Max-Heapify算法（这是对最大堆而言）使得当前子树成为一个二叉堆。具体而言，假设高度为h的子树均已完成二叉堆化，那么对于高度为h+1的子树，把其根节点沿着最大子节点的分枝做调整，最多需要h步完成二叉堆化。可以证明，这个算法的时间复杂度为O(n)。

合并两个二叉堆

最优方法是把两个二叉堆首尾相连放在一个数组中，然后构造新的二叉堆。时间复杂度为，其中n、k为两个堆的元素数目。

如果经常需要合并两个堆的操作，那么使用二项式堆更好，其时间复杂度为。

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