二次扩张

扩张次数为2的域扩张

二次扩张(quadratic extension)是一类重要的有限扩张。二次扩张是指扩张次数为2的域扩张。域F上的二次不可约多项式的分裂域是F的二次扩张。设K/F是域扩张，K′是K的子域，F上的每个二次多项式在K′中可分解为一次因子的乘积，只要该多项式在K中有根，这样的K′中的最小者，称为F在K中的二次闭包。

概念

设A为交换环，e为A的单位元素。称A的扩张B是二次扩张，如果存在B的元素v，使得(e，v)是A-模B的基。

设A为交换环，而d为A的元素。以关系：

定义乘法的加法群A2是A的二次扩张，在这一扩张中，(d，0)是(0，1)的平方；通常将这一扩张记为。例如，是复数体，是高斯整环。

扩张

如果E是一个域，而F是E的子集，它在E中加法和乘法的运算下也成一个域，我们把E叫做F的一个扩张。E作为F的一个扩张时，可用符号F⊂E表示。如果F⊂E，且不考虑E的元素间所定义的乘法运算，那么可把E当作是F上的一个向量空间。如果F上向量空间E的维数(记作E/F)是有限的，那么把E叫做有限扩张。

域的扩张

域论的基本概念之一。若域K包含域F作为它的子域，则称K是F的一个扩张(或扩域)，F称为基域，常记为K/F。此时，K可以看成F上的向量空间。研究扩域K(相对于基域F)的代数性质，是域论研究的一个基本内容。

若域E是F的扩域，K是E的扩域，则称E是域扩张K/F的中间域。若K/F是域扩张，S是K的子集，且F(S)是K的含F与S的最小子域，称F(S)为F添加S的扩域。当S={α1，α2，…，αn}是有限集合时，F(α1，α2，…，αn)称为添加α1，α2，…，αn于F的有限生成扩域(或者F上的有限生成扩张)。它由一切形如：f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元组成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多项式且g(α1，α2，…，αn)≠0。

由于这个原因，当F(α1，α2，…，αn)关于F的超越次数≥1时，F(α1，α2，…，αn)也称为F上的代数函数域。当S={α}时，称F(α)为F的单扩张域，也称本原扩域。F的有限代数扩域K是单扩域的充分必要条件是，扩域K与基域间存在有限个中间域。这是施泰尼茨(Steinitz，E.)证明的。

闭包

图论的一个基本概念。指由一个图所派生出的另一个图.具体地说，一个图G的闭包H是指符合下列条件包含边最少的图：G是H的支撑子图；对于H上任何两不相邻节点v和w，都有ρH(v)+ρH(w)哈密顿图。称节点次之和特别是两个节点次之和所满足的条件为奥尔型条件。所谓一个图G的k闭包，是指符合下列条件且包含边最少的图H：G是H的支撑子图；对于H上任何两不相邻节点v和u，都有ρH(v)+ρH(u)

代数闭包

一个域的最大代数扩域。若域F的代数扩域Ω为代数闭域，则称Ω为域F的一个代数闭包。一个域F的代数闭包总是存在的，并且在F同构意义下惟一。这个基本定理来自施泰尼茨(Steinitz，E.)。设K是域F的扩域，在K中F上代数元的全体组成的子域A称为F在K内的代数闭包，它是F在K内的最大代数扩域。特别地，若F=A，则称F在K内是代数闭的。

实线性空间中的集合的代数意义下的闭包。设A为实线性空间X中的集合。A的代数闭包是指这样的点b∈X的全体：存在h∈X，对于任何ε>0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A.A的代数闭包常记为acl(A)。如果A=acl(A)，那么A称为代数闭集。它也是X在以代数开集为开集的拓扑意义下的闭集，即代数闭集的余集必定是代数开集；反之亦然。代数闭包的概念在叙述凸集分离定理时也起重要作用。

有的文献定义代数闭包时，要求对于任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A.这时代数闭集就不再是代数开集的余集。但当A是多于一点的凸集时，由这两种定义得到的代数闭包是相同的。

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