二阶曲面

几何概念

二阶曲面是空间射影几何研究的基本对象。

代数定义

满足二次方程的点集称为二阶曲面或二阶代数曲面。当时，二阶曲面为常态的；当时，二阶曲面为变态的。

射影定义

两个射影面束的对应平面的交线集合连同这两个面束的轴构成二阶曲面或二阶射影曲面。当两束轴异面时，二阶曲面为常态的；当两束轴共面时，二阶曲面是变态的。

在研究二阶曲面的射影分类中可知，二阶曲面共可分为八类，其中常态的可分三类：

(一)、无实点的二阶曲面

(二)、有实点但无实直线的二阶曲面

(三)有两族实直线的二阶曲面。

变态的可分五类：

(四)虚二阶锥面

(五)、实二阶锥面

(六)、两共扼虚平面

(七)、两相异实平面

(八)、两重合平面。

欲证关于立阶曲面的两种定义的等价性，只须证明上述八类曲面均可由两射影面束的对应平面交线构成即可。反之，凡是由两射影面束的对应平面交线所生成的曲面仅此八类。这就是说，由二阶曲面的代数定义可推出射影定义，反之，由二阶曲面的射影定义可推出代数定义。

引理

引理1

一个常态二阶曲面：，上总存在着两族未必为实的直母线。若在同族中任取两直母线a,a'，过a、a'分别作平面，使的交线m在上，则由所确定的面束a到a'的映射成非透视的射影对应。

引理2

设以两不交直线a、a'为轴的面束a{π}与a'{π'}成非透视的射影对应，则其对应平面的交线的集合为通过两束轴的常态二阶曲面。

定理

定理1

二阶射影曲面是二阶代数曲面。

证明：

i)当产生二阶射影曲面的两射影面束的轴不同时，可分三种情形：

1)当两轴不交时，由引理2知其对应平面的交线集合为一常态二阶代数曲面，又由引理1前半部分知其包括(一)、(二)、(三)三种类型。

2)当两轴相交而成非透视的射影对应时，设两轴a、a'交于点S，这两个面束与任一相异于由a、a'确定的平面的平面w的交线是一对射影线束，它们的中心是已知面束的轴a、a'与平面w的交点S1、S2。非透视的射影线束S1、S2在平面上构成二阶曲线。射影面束a、a'的对应平面交线通过曲线上的点与点S，因此，两面束的对应平面交线构成有顶点与准线r的变态二阶曲面——二阶锥面。并有虚、实两种可能。当曲线是虚二阶曲线时，S是仅有的实点，即所得的曲面是虚二阶锥面；当r是实二阶曲线时，曲面上有一族过S的实毋线而称为实二阶锥面。

因此，二阶锥面作为两个射影面束的对应平面交线的集合是二阶代数曲面。

3)当两轴相交而成透视对应时，两射影面束投射作为它们公共截影的同一线束。假定以a、a'为轴的面束投射平面w上的同一线束S(l、m、n...)，这时，轴a、a'过中心S。显然，所求的两面束a、a’的对应平面交线集合由线束S(l、m、n...)和通过轴a、a'的平面上所有直线组成。由于公共平面元自对应，所以在两个射影面束成透视的情形下，二阶锥面分解为两个平面w和。因而是二阶代数曲面。

ii)当产生二阶射影曲面的两射影面束的轴相同时，这时一般有两个二重平面，可分三种情形：

1)构成双曲型射影对应，有两个相异的二重实平面，即对应平面的交线轨迹为两个相异实平面所组成的变态二阶曲面。

2)构成抛物型射影对应，有两个重合的二重平面、即对应平面的交线轨迹为两个重合平面所组成的变态二阶曲面。

3)构成椭圆型射影对应，有两个共扼的虚二重平面,即对应平面为交线轨迹为两个共扼的虚平面所组成的变态二阶曲面。

综上所述,成射影对应的两面束，无论两轴不交、相交或重合,其对应平面交线轨迹总组成一个二阶曲面，对应的方程均为二次方程,即二阶射影曲面是二阶代数曲面。

定理2

二阶代数曲面是二阶射影曲面。

证法同上。

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