二面体群

一种具体的群

二面体群(dihedral group)一种具体的群。保持平面上正n(n}2)边形R不变的线性变换所成的群。

概念介绍

二面体群(dihedral group)是一种具体的群。保持平面上正n(n>2)边形Rn不变的线性变换所成的群。它由保持Rn不变的n个旋转和n个反射所组成。通常记为D2n。D2n是2n阶的非交换群。从生成的角度来定义，二面体群是由两个不同的特殊元所生成的群，即它有如下的定义关系：

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

名称由来

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

重要概念

生成方式——线性变换

线性代数的重要概念之一。设σ是数域P上的线性空间V的一个变换.若对于V中的任意向量α，β与P中的任意数k，有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，则称σ是V的一个线性变换。设σ是线性空间V的一个变换，若对于V中任意向量α，有σ(α)=α，则σ是V的线性变换，称为恒等变换，亦称单位变换，记为I.若V的变换σ对于V中的任意向量α，有σ(α)=0，则σ是V的线性变换，称为零变换，记为0.线性变换是欧氏几何中的变换、解析几何中的某些坐标变换、数学分析中的某些变量代换以及其他数学分支中某些类似的变换的抽象、概括与推广。数域上线性空间的线性变换可以推广为同一个域上的两个不同线性空间的线性映射。线性变换不仅是线性代数的主要研究对象之一，也是数学中的一个重要的概念。近代数学中的许多分支的研究对象，如泛函分析中的线性算子。同调代数中的模同态等都与线性变换有密切的联系。

如果对于线性空间V中任意的元素α.β和数k∈p，都有

A(α+β)=A(α)+A(β)，

A(kα)=kA(α).

那么我们把变换A叫做线性变换。A(α)或Aα代表元素α在变换A下的映象。

重要性质

性质1：二面体群是非可换p群。

我们知道，群与关于四个文字对称群的子群同构，后者是非可换群，故性质1成立。

性质2：二面体群与其自同构群同构。

我们可以直接验证，二面体群可以由两个生成元分别记做f=(1234)和r=(24)，且满足关系：生成的，式中1表示四个文字的恒等置换。

综合以上所述。二面体群共有十个子群，两个平凡子群，八个真子群。这些真子群就同构意义而言，五个二阶子群同构，仅表示一个同构子群，两个四阶子群N1与N2同构，代表另一个子群，再添上一个四阶循环子群C，总共三个非同构子群。如从置换群的可迁性来说，虽说N1与N2是同构子群，但它们的可迁性不同，子群N,是非可迁的，而子群NZ是可迁的。于是有两个真子群N2和C可迁的，其余六个子群不可迁的。

我们感兴趣的是对D4的真子群进行分类。近世代数教科书已指出C、N1、N2和Z都是正规子群且z是D4的中心,还是换位子群。

点群构成

点群是由旋转、反演、反映、象转、镜转等点对称操作构成的对称群。这些点对称操作所凭藉的对称要素交于一点，在进行对称操作时至少保持有一点不动，故称为点群。

在晶体中，由于晶体对称定律的限制，只能有1、2、3、4、6五种旋转轴，并且各对称要素的组合必须服从对称要素组合定律，因此，晶体中的点群个数是有限的，共32种，称为32晶体学点群，或简称为32点群。这32种晶体学点群是：

Cn群——C1、C2、C3、C4、C6，共5种.

Cnh群——由Cn加上与其垂直的反映面构成，有C1h、C2h、C3h、C4h、C6h，共5种.此处下标h是英文“水平的”一词的词头.

Cnv群——由Cn加上与其平行的反映面构成，此处下标v是英文“竖直的”一词的词头.新的群有C2v、C3v、C4v、C6v四种，而C1v=C1h.

Sn群——新的群有S2、S4、S6三种，而S1=C1h，S3=C3h.

Dn群——由Cn加上与其垂直的C2构成，此处D是英文“二面体的”一词的词头.新的群有D2、D3、D4、D6四种，而D1=C2.

Dnh群——由Cnh加上与主轴Cn垂直的C2构成.新的群有D2h、D3h、D4h、D6h四种，而D1h=C2v.

Dnd群——由Dn加上平分每两个相邻C2轴交角的反映面构成. 此处下标d是英文“对角的”一词的词头. 新的群有D2d、D3d两种. D1d=C2h是重复的.D4h中出现S8，D6h中出现S12，都违反晶体对称定律.

T群——正四面体所具有的对称群，有T、Th、Td三种，称为四面体群，此处T是英文“四面体”一词的词头.