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二项式系数

系数其中n为自然数

二项式系数（binomial coefficient），或组合数，在数学里表达为：(1 + x)n展开后x的系数（其中n为自然数）。从定义可看出二项式系数的值为整数。

定义
一般二项式(x + y)n的幂可用二项式系数记为 。广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂，此时右式则不再是多项式，而是无穷级数。
二项式系数对组合数学很重要，因它的意义是从n件物件中，不分先后地选取k（k为正整数）件的方法总数，因此也叫做组合数。从定义出发，把n个(1+x)项的乘积展开，其中任意k项的x和n−k项的1相乘得出一个x，故此x的系数是从n个选取k个的方法总数。把各项的x标记可以更清楚看出：当n=4, k=2时，
， 所以x的系数6等于从4项物件选取2项的方法总数。
二项式系数是杨辉三角的第n+1行从左起第k+1个数，它最先由杨辉发现。
二项式系数符合等式可以由其公式证出，也可以从其在组合数学的意义推导出来。如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数，这些方法可分为没有选取第n+1件，即是从其余n件选取k件；和有选取第n+1件，即是从其余n件选取k−1件。而第二式则是每个从n件选取k件的方法，也可看为选取其余n−k件的方法。
发现历程
二项式系数表为在我国被称为贾宪三角或杨辉三角，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。
在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为帕斯卡三角形，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。 　 1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式。 　 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。
性质
对称性
与首末两段“等距离”的两个二项式系数相等。即。
单峰性
是单峰序列。
（1）当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。
（2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。
二项式系数的和
二项式定理
二项式定理(binomial theorem)，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。
此定理指出： ，通项公式为 　 其中， 叫做二项式系数。等号右边的多项式叫做二项展开式。
其i项系数可表示为 ，即n取i的组合数目。 因此系数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
二项式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n为正整数时的展开式。
排列与组合
1、
2、
3、
证明：由
当a=b=1时，代入二项式定理可证明1
当a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2
4.组合数的性质：
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