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互逆命题

数学名词

在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题，即两个互为逆命题的命题。在命题的四种形式中，原命题与逆命题，否命题与逆否命题是两对互逆命题。例如：假如事件A为真，则事件B也为真，那么它的逆命题就是假如事件B为真，则事件A也为真。

定义
命题
命题的定义：一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题。但是原命题正确，它的逆命题未必正确。例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题。
互逆命题
互逆命题的定义：如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题。如把其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。
逆否命题
逆否命题的定义：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中一个称为原命题，那么另一个就叫做它的否命题。
性质
（1）原命题和逆命题为互逆命题；
（2）逆否命题和否命题为互逆命题；
（3）两个命题为互逆命题，它们的真假性没有关系。
例如：
（1）原命题：“若a=0，则ab=0”，为真命题；
逆命题：“若ab=0，则a=0”，为假命题。
（2）原命题：“若a=1，则 ”，为真命题；
逆命题：“若 ，则a=1”，为真命题。
与互逆定理
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做逆命题。把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理。
互逆命题的概念大于互逆定理。互逆定理是互逆命题，但互逆命题未必是互逆定理。
关系
原命题、逆命题、否命题和逆否命题四种命题有如下关系。
相互关系
四种命题的相互关系如下：
（1）原命题与逆命题互逆；
（2）否命题与原命题互否；
（3）原命题与逆否命题相互逆否；
（4）逆命题与否命题相互逆否；
（5）逆命题与逆否命题互否；
（6）逆否命题与否命题互逆。
真假关系
四种命题的真假关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
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