五次方程代数解

数学术语

五次方程是一种最高次数为五次的多项式方程。寻找五次方程的解一直是个重要的数学问题。一次方程和二次方程很早就找到了公式解，经过数学家们的努力，后来三次方程及四次方程也有了解答，但是之后很长的一段时间里没有人知道五次方程是否存在公式解。相形之下，解五次方程显得格外的困难。

近代研究

拉格朗日的工作启发了年轻的阿贝尔(挪威数学家)，中学时期就自学了许多名家的数学著作，进大学后，开始研究五次方程的代数解问题。1824年，他严格地证明了高于四次的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，这时他才22岁，尚未大学毕业，但没有得到别人理解，将论文寄给高斯，也未引起注意，1826年才得以公开发表论文。阿贝尔只是证明了高于四次方程的一般代数方程不可能有一般形式的代数解，没有指出哪些特殊的方程存在代数解。这个问题后来被法国年轻数学家伽罗瓦所解决，伽罗瓦创设的理论给出了可解性判别准则，并因此而开辟了数学的新领域——群论。

存在问题

二次、三次、四次方程的根都可以用它的系数的代数式(即只含有限项的加、减、乘、除和开方五种代数运算的表达式)来表示，五次及五次以上方程到底是否也行，这个问题吸引了众多的著名数学家，在300多年的时间里，人们的各种尝试都失败了。17世纪时英国数学家格里高利曾提出猜测：对于n>4的一般n次方程是不能用代数方法求解的，但没有人能够证明这个结论。

到了18世纪下半叶，法国数学家拉格朗日总结分析了别人失败的教训，也意识到这种用代数方法求解五次方程的公式可能不存在，设想了一种理论上的利用根式求解方程的步骤，但还是碰了壁。

一般常常认为，一般的五次方程没有公式解存在，这是不正确的。利用一些超越函数，如 theta function 或 Dedekind eta function 即可找到五次方程的公式解。不存在的应当是根式解（即由方程的系数通过有限次的四则运算及根号组合而成的公式解）。另外，若我们只需要求得数值解，可以利用数值方法（如牛顿迭代法）得到相当理想的解答。

布灵·杰拉德正规式

对于一般的五次方程式

可以借由以下的转换

得到一个的五次多项式，上述的转换称为契尔恩豪森转换（Tschirnhaus transformation），借由特别选择的系数，可以使的系数为，从而得到如下的方程式：

以上的化简方法是由厄兰·塞缪尔·布灵所发现，后来乔治·杰拉德也独立发现了此法，因此上式称为布灵·杰拉德正规式（Bring-Jerrard normal form）。其步骤如下：首先令

可消去四次方项，得到

其中，

接下来，令，得到

再令，求得

第三步，利用契尔恩豪森想到的方法，令：

代入

得到