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人工变量

求解线性规划问题时人为加入的变量

人工变量(artificial variable)亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。

定义
人工变量(artificial variable)亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量.用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的，但约束方程组的系数矩阵A中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量.如设(LP)为
引入新变量将(1)变为（2）
称新变量 为人工变量.
人工变量的作用
人工变量是为了凑成单纯形表中的基变量而人工加入的单位向量，在目标函数中系数为-M，最后化简结果中基变量要为0，否则无可行解。化简单纯形表就可以解决，若用对偶单纯形表的话就直接能解单纯形表，不用添加人工变量。
新LP与原LP的最优解
1.若新LP的最优解中,人工变量都处在非基变量位置(即取零值)时,原LP有最优解。
2..若新LP的最优解中,包含有非零的人工变量,则原LP无可行解。
3..若新LP的最优解的基变量中,包含有人工变量,但该人工变量取值为零。这时可将某个非基变量引入基变量中来替换该人工变量,从而得到原LP的最优解。
求解新LP的两种方法
1.大M法
将目标函数修改为
M是一个很大的正数。
手工计算时,只要认定M是一个很大的数。
计算机计算时,必须对M给出一个具体数值,通常取比原问题中最大数据高1~2个数量级的数值。并视求解情况对M作适当调节。
大M法的不足：
在用计算机求解时，不容易确定M的取值，且M过大容易引起计算误差。
2.两阶段法
将新LP的求解过程分成两阶段
求解第一个LP
目的：通过解辅助LP来获得原LP的初始解
原LP：
辅助LP：
原LP的可行域D：
辅助LP的可行域D'：
用单纯形法计算辅助LP的结果有三种可能情形:
1.最优值=0且人工变量皆为非基变量。从第一阶段的最优解中去掉人工变量后,即为原LP的个基本可行解。作为原LP的一个初始基本可行解,再求原问题,从而进入第二阶段。
2.最优值≠0,说明至少有一个人工变量不为零。原LP无可行解。不再需要进入第二个阶段计算。
3.最优值=0且存在人工变量为基变量,但取值为零把某个非基变量与该人工变量进行调换。
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