代数闭链

数学术语

代数闭链是代数几何和Hodge理论中的重要概念。在一个复 n 维的代数簇 M 中，一条复 p 维的闭链（cycle）如果可以用一些多项式方程组的零点集来定义，就成为代数闭链，比如记为 Z。

简介

代数闭链是代数簇上的由给定代数簇的所有不可约子簇作为自由生成元集合的自由阿贝尓群(free Abelian group) 的一个元素。簇 X 上的代数闭链的群记为，中由余维数为 p 的子簇生成的子群记为。群可以表示成直和

子群与 X 上韦伊除子的群相同。

性质

设 X 表示代数闭域 k 上 n 维奇异射影代数簇。若 k 是复数域，则每个代数闭链定义了一个维同谓类，且根据庞加莱对偶性，确定一个上同调类（或）型的同调（或上同调）类称为代数同谓（或上同调）类。每个解析闭链都同谓于一个代数闭链。人们相信（霍奇猜想）X 上的一个整维闭链同谓于一个代数闭链，当且仅当所有型闭微分形式在的积分等于 0。这个猜想只是对，对以及对簇的一些孤立类得到证明。

如果是两个簇的积上的一个代数闭链，则 X 上形如的闭链的集合称为 X 上以基数 T 参量化的代数闭链族(family of algebraic cycles)。

这种关系通常要求每个子簇到 T 上的射影是平坦态射。当由不可约子簇定义时，X 上相应的代数闭链族称为代数子簇族（family of algebraic subvarieties）。特别地，对代数簇的任何平坦态射，它的纤维构成一个以基簇 Y 参量化的 X 代数子簇族。这个概念的第二个特例是线性系。以连通基簇参量化的射影簇 X 的代数子簇（或相应地，代数闭链）族的所有成员都有相同的希尔伯特多项式（相应地，算术亏格）。

称簇 X 上的两个代数闭链和是代数等价的 (algebraically equivalent)（记为）。若，时，有理等价性的概念就简化为除子的线性等价性的概念。有理（或相应地，代数）等价于零的代数闭链的子群记为（相应地，）。这两个群都是它的分量的直和：

商群是有限生成的，称为簇 X 上的内龙-塞韦里群。当时，商群是否有限生成的问题，至今仍未解决。商群具有阿贝尓簇的结构。用闭链的相交运算可以在商群内定义一个乘法，把它变成一个变换环，称为簇 X 的周 [炜良] 环。

对任何韦伊上同调，存在唯一确定的群同态，如果，就称两个代数闭链和是同调等价的 (homologically equivalent)（记为）。同调等价于 0 的代数闭链的子群记为。存在嵌入。商群是有限生成的，而且是环的子环，记为，称作代数韦伊上同调类的环(ring of algebraic Weil cohomology classes)。还不知道是否依赖于选取的韦伊上同调论。

如果存在使，就称两个代数闭链和是等价的(r-equivalent)（记为）。等价于 0 的代数闭链的子群记为。的两个代数闭链和称为数值等价的 (numerically equivalent)（记为），如果对任何，只要等式两边都有定义，就有。数值等价于 0 的代数闭链的子群记为。有如下嵌入：

对于除子，群，和是相同的。不过有如下反例：对于，这里的是作为有理系数的寻常上同调的 l 进理论，可举出类似的反例。关于群与的相等问题以及解决。

设 X 被嵌入一个射影空间，是超平面截面的上同调类，代数同调类称为本原的 (primitive)，如果。

在这种情形下，如果 k 是复数域，则双线性型在中本原类的子空间上是正定的。对于任意 k，类似命题仅对一些特殊情形得到证明，它与代数簇函数上的韦伊猜想密切相关。

当簇 X 定义在非代数闭域 k 上时，域 k 的可分代数闭包的伽罗瓦群作用在韦伊上同调上，这里的每个元素关于群的有限指数的某子群保持不变。人们相信（代数闭链的泰特猜想( Tate conjecture on algebraic cycles)）如果 k 在它的素子域上有限生成，则其逆命题也正确。代数簇函数上的许多猜想都以这个假设为基础。

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