任意子

数学和物理学中的概念

任意子是数学和物理学中的一个概念。它描述一类只在二维系统中出现的粒子。它是对费米子和玻色子概念的广义化。

物理学

在石墨烯、量子霍尔效应等二维物理系统中任意子这个数学概念变得越来越有用。在三维以上的空间里，粒子根据其统计特性的不同只能是费米子或者是玻色子。费米子遵从费米-狄拉克统计，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计。在量子力学中这些统计是根据多粒子状态下粒子交换的结果来描写的。使用狄拉克符号，则两粒子状态关系为：

其中中的第一项是第一个粒子的状态，第二项是第二个粒子的状态。因此公式的左侧的意思是“粒子一在状态和粒子二在状态”。加号相应于两个粒子都是玻色子，减号相应于两个粒子都是费米子（玻色子和费米子混合的状态是不可能的）。

1977年奥斯陆大学的两名学者证明在二维系统中准粒子可以连续地遵循费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计之间的任何统计。使用上面两粒子系统的例子其公式为：

是复数计算中的虚数单位，是一个实数。，和。假如我们获得费米-狄拉克统计（负号），假如我们获得玻色-爱因斯坦统计（正号）。在其间我们获得其它统计。任意子这个名称是弗朗克·韦尔切克起的，因为这些粒子在进行粒子交换的情况下可以有任意相。

我们也可以用，其中粒子的自旋量子数s对于玻色子而言是整数，对于费米子而言是半整数。因此：

，或者

在边界上，分数量子霍尔效应任意子被限制在一维空间中移动。一维任意子的数学模型提供了上述交换关系的基础。

拓扑学基础

在任何二维以上的空间里，自旋统计定理规定任何多粒子状态都必须要么遵循费米-狄拉克统计，要么遵循玻色-爱因斯坦统计。这与n>2的SO(n,1)基本群有关，其值为（有两个元素的循环群）。因此这里只有两个可能性（这里的细节比上述的要复杂，但是最关键的原因是这个）。

在二维空间里情况发生了变化，这里SO(2,1)的基本群是（无限循环）。这意味着自旋（2，1）不是通用覆盖：它们不是单连通。详细地说特殊正交群SO(2,1)的射影表示不仅仅有SO(2,1)或者其二重复盖群旋量群自旋（2，1）的线性表示。而这些额外的表示被称为任意子。

这个概念对非相对论系统也有效。关键是空间旋量群是有无限基本群的SO(2)。

这个事实也与纽结理论中著名的辫群有关。在二维中两个粒子的排列群不再是对称群，而是辫子群了。这样也可以来理解这个问题。

有一种考虑解决量子计算机中的稳定性问题的方法是使用任意子制成的拓扑量子计算机。这种计算机使用准粒子作为线程，使用辫理论来设计稳定的逻辑门。

费米子

在粒子物理学里，费米子（英语：fermion）是遵守费米-狄拉克统计的粒子。费米子包括所有夸克与轻子，任何由奇数个夸克或轻子组成的复合粒子，所有重子与很多种原子与原子核都是费米子。术语费米子是由保罗·狄拉克给出，纪念恩里科·费米在这领域所作的杰出贡献。

费米子可以是基本粒子，例如电子，或者是复合粒子，例如质子、中子。根据相对论性量子场论的自旋统计定理，自旋为整数的粒子是玻色子，自旋为半整数的粒子是费米子。除了这自旋性质以外，费米子的重子数与轻子数守恒。因此，时常被引述的“自旋统计关系”实际是一种“自旋统计量子数关系”。

根据费米-狄拉克统计，对于N个全同费米子，假设将其中任意两个费米子交换，则由于描述这量子系统的波函数具有反对称性，波函数的正负号会改变。由于这特性，费米子遵守包利不相容原理：两个全同费米子不能占有同样的量子态。因此，物质具有有限体积与硬度。费米子被称为物质的组成成分。质子、中子、电子是制成日常物质的关键元素。

玻色子

在量子力学里，粒子可以分为玻色子（英语：boson）与费米子。保罗·狄拉克为了纪念印度物理学者萨特延德拉·玻色的贡献，因此给出玻色子的命名。玻色与阿尔伯特·爱因斯坦合作发展出的玻色-爱因斯坦统计可以描述玻色子的性质。在所有基本粒子中，标准模型的几个传递作用力的规范子，光子、胶子、W玻色子、Z玻色子都是玻色子，赋予基本粒子质量的希格斯子是玻色子，已被证实。在量子引力理论里传递引力的引力子也是玻色子，尚未被证实存在。在复合粒子里，介子是玻色子，质量数为偶数的稳定原子核，像重氢H（原子核由一颗质子和一颗中子组成，质量数为2）、氦-4、铅-208等也是玻色子，准粒子像库柏对、等离体子、声子等都是玻色子。

多个玻色子可以同时占有同样量子态。这是一个很重要的性质。当氦-4因冷却变为超流体时，会显示出这种性质。与之相比，两个费米子不能同时占有同样的量子态。组成物质的基本粒子是费米子，例如，轻子、夸克。玻色子传递作用力使得费米子能够连结在一起。由于玻色子的作用，物质能够黏结在一起。

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