仿射坐标系

解析几何中仿射坐标系的推广

仿射坐标系(affine coordinate system)是解析几何中仿射坐标系的推广。设V是实n维线性空间，A是关于V的仿射空间，A中一个固定点O与V的一个基(e1,e2,e3)称为A的一个仿射坐标系，O称为坐标系的原点，于是对于A中每一点必有(x,y,z)称为P点关于给定坐标系的仿射坐标。

坐标系

坐标法的基础是建立坐标系，坐标系的实质是平面或空间的点到有序数组的对应关系。为此首先要建立一个参考系，即坐标标架。

例如，平面上由两条互相垂直并且都以交点为零点的两条数轴构成一个平面直角标架，产生一个平面直角坐标系；在平面上取定一条射线，就得到一个平面的极坐标系．这两种坐标系都是用距离、夹角等度量概念来规定坐标的。我们用向量的分解度量建立一种新的坐标系，即仿射坐标系。它不涉及度量概念，从而更加适用于仿射几何学。

仿射坐标系

假设是不共面的向量（图1），则根据分解定理，对任一向量存在唯一实数组x,y,z，使得。这样，就得到从全体向量的集合到全体三元有序数组的集合的一个一一对应关系。即一方面不同的向量对向量组有不同的分解系数，另一方面每个三元有序数组一定是某个向量的分解系数。取定空间中的一点O，则又有从空间到全体向量的集合的一一对应关系：点A对应到向量。

把上述两个一一对应关系结合起来，就得到从空间到全体三元有序数组集合的一一对应关系，这就产生了仿射坐标系。

定义

空间中的一个定点O连同不共面的3个有序向量的全体叫做空间的一个仿射标架，记作：。

当标架中3向量为单位向量时，称为笛卡尔标架；当笛卡尔标架中的3单位向量互相垂直时，称为直角标架，记作：。称O为它的原点，称为它的坐标向量。

对于空间的任意一点A，把向量对的分解系数构成的有序数组称为点A关于上述仿射标架的仿射坐标。这样得到的空间的点与三元有序数组(x,y,z)的对应关系称为由仿射标架决定的空间仿射坐标系。

取定仿射标架后，把经过原点O，平行于坐标向量并且以其方向为正方形的数轴称为坐标轴。3条坐标轴分别为x轴、y轴和z轴，它们分别平行于；两条坐标轴决定的平面称为坐标平面，如x轴和y轴决定的平面叫做xoy平面等。三张坐标平面将空间分割成8块，称为8个卦限。

空间直角坐标系如图2所示，空间点的坐标在各卦限的符号见表1。

向量的坐标

在标架中，若，称x,y,z为向量的坐标，记作或。特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径。

位置向量：在标架下，以原点O为起点，M为终点的向量称为M的向径，或称为位置向量，记作。

坐标轴上点的坐标的特点：有两个坐标为零。

坐标平面上点的坐标的特点：有一个坐标为零。坐标原点的三个坐标都为零。