仿射法线

数学术语

仿射法线(affine normal line)是欧氏空间中曲面法线的推广，与仿射空间中的超曲面横截相交的直线，它是欧氏曲面论中法线的仿射类似。

概念

仿射法线是欧氏空间中曲面法线的推广。与仿射空间中的超曲面横截相交的直线，它是欧氏曲面论中法线的仿射类似。若M是n+1维仿射空间An+1中的非退化超曲面，x是位置向量，Δ是关于布拉施克度量的拉普拉斯算子，则Y=Δx/n是M上仿射不变的横截向量场，称为M的仿射法向量场。过M的点x且平行于Y(x)的直线，称为M在点x的仿射法线。当M严格凸时，仿射法线有下述几何意义：用TxM表示M在点x的切超平面，An+1中平行于TxM的超平面π与M的交线界定π上一个凸域Ω，当π平行移动时，Ω的重心描出一条从x出发的曲线，这条曲线在点x的切线，就是M在点x的仿射法线。

仿射几何

几何学的一个分支学科.主要研究仿射空间中的图形在仿射对应(仿射变换)下不变的几何性质和不变量。如共线性，平行性，单比等.n维仿射空间的构成如下：设V是一个n维向量空间，A是一个集合，A中的元素称为点，如果对于A中两点P，Q，对应着V中惟一的一个向量，并且这种对应满足：

1.PP=0(V中的零向量).

2.任给A中一点P和V中的向量a，在A中存在惟一的点Q，使得=a.

3.对A中三点P，Q，R，有等式PR=PQ+QR。则称A为一个n维仿射空间。特别地，当n=1时称为仿射直线；n=2时称为仿射平面;n=3时称为仿射空间。

在欧几里得平面(空间)中，若不考虑距离的概念，则这个平面(空间)就是一个仿射平面(空间)。如果在仿射平面(空间)中引进无穷远点，则这样的平面(空间)就称为扩大的仿射平面(空间).在扩大的仿射平面(空间)中，对原有的点与无穷远点不加区别，得到的平面(空间)就是射影平面(空间)。仿射几何中最重要的变换是仿射变换.这种变换的特征是将共线三点变成共线三点.仿射几何中最重要的不变量是单比。其他仿射不变量都可以用单比表示。在仿射平面(空间)中，仿射变换的全体构成一个变换群，称为仿射变换群，简称仿射群。并且在扩大的仿射平面(空间)中，它还是保持无穷远直线(无穷远平面)不变的一个射影变换群。因此，仿射群是射影群的子群，仿射几何是射影几何的子几何。

仿射空间

仿射空间是通常三维向量空间的推广。是这样的点集合A={P，Q，…}，A中的点与一个n维线性空间V中的向量满足以下的关系：

1.对A中任意有序点对P，Q，存在V中一个向量(称为P，Q的差向量)，记为PQ。

2.对A中任意三个点P，Q，R有

PQ+QR=PR.

3.对每个P∈A和每个α∈V，存在Q∈A使

PQ=α，

这时也称A为关于V的n维仿射空间，而称V为差空间。特别地，若取A=V，定义PQ=Q-P，则上述三条件都是满足的。因此，V按此定义就是一个n维仿射空间。

欧氏空间

即欧几里得空间。既是几何学的研究对象，又是代数学的研究对象。在几何学中，欧氏空间是满足全部欧几里得公理的几何空间。它的几何是研究几何图形的度量性质和度量不变量的欧几里得几何(简称欧氏几何)，包括普通平面几何和立体几何的全部理论。

欧氏几何空间按维数的不同而有一维欧氏空间(即欧氏直线)、二维欧氏空间(即欧氏平面)和三维欧氏空间(即普通空间，在几何学中也常简称欧氏空间)。在代数学中，欧氏空间是实数域上的一个线性空间，在其中规定了一个称为内积的二元实函数。欧氏线性空间的维数可以是任意的自然数。容易在同维数的欧氏几何空间与欧氏线性空间之间建立直接的联系。在欧氏几何空间中取定一点作为公共的起点，空间每一点就决定一个以该点作为终点的向量。这种向量的全体构成的集合在向量加法和数乘向量的乘法下就是一个线性空间.再以通常向量的数量积作为线性空间中向量的内积，这个线性空间就是一个欧氏线性空间。反之，在线性空间取定基底后，n维线性空间中的向量可以用n元数组作为坐标表示，再把n维欧氏线性空间的向量的坐标看做n维欧氏几何空间中建立了直角坐标系后点的坐标，这样就在n维欧氏线性空间的向量和n维欧氏几何空间的点之间建立了一一对应，并且当取后者的坐标原点作为公共的起点，由后者的每个点作为终点所决定的向量，其坐标正好与前者的对应向量的坐标相同，由其数量积所确定的欧氏线性空间，也与前者完全合一。

总之，按照以上的讨论，在同维数的几何空间和欧氏线性空间之间可以建立一一对应，并在此对应下保持着各自的几何、代数结构。这也是将后来发展的代数体系与先发展的几何体系取同一名称——欧几里得空间的原因。

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