传递集

数学领域

传递集是一种特殊的集合,主要用于数学领域。在关系“~”下 Ω 点每个等价类,称为 G 点一个轨道或传递集。而 Ω 是 G 的一些轨道的无交并。如果 Ω 本身是 G 的一个轨道,就说 G 是 Ω 上的传递群(transitive group)。

简介
设 G 为Ω 上的置换群。借助 G 可以在Ω 上定义一种关系:点α 与β 有关系“~”,或α~β,如果有 G 中元素 g 使。显然关系”~”有反身性,对称性和传递性,即“~”是一个等价关系。在此关系“~”下 Ω 点每个等价类,称为 G 点一个轨道(orbit)或传递集。而 Ω 是 G 的一些轨道的无交并。如果 Ω 本身是 G 的一个轨道,就说 G 是 Ω 上的传递群(transitive group)。
传递性
[transitivity]
设 G 为Ω 上的置换群, 。G 的全体以α 为不动点的元素组成一个子群,称为α 在 G 内的稳定子群(stabilizer),记作 。设 为 G 在Ω 上的一个轨道,而且 。此时若β 也为 中一点,那么,G 中把α 映成β 的那些元素组成的集合正好也是 在 G 内的一个右陪集。反过来, 在 G 内的任何一个右陪集的各元素都把α 映成 中的同一个点。因此在点集合 和 点右陪集所成的集合间右一个一一对应。于是, 点长度正好是 在 G 内的指数。于是得到公式 。当 G 在Ω 上传递时,有 。由此知道,传递群 G 的阶一定是Ω 的长度的倍数。若α,β点点属于 G 的同一轨道 ,则它们的稳定子群在 G 内共轭。
前述点点稳定子群的概念可推广到子集上。设 是Ω 的子集。G 中把 作为集合还变成 的全体元素组成一个子群,称为 在 G 中的集型稳定子群(set-wise stabilizer)。而 G 中把 里每个点都保持不变的元素组成子群称为 在 G 中的点型稳定子群(point-wise stabilizer)。当 时,我们把 当集型稳定子群记作 。而把 的点型稳定子群记作 。
仍设 G 为Ω 上点置换群。用Ω(k)表示Ω 的 k 元有序子集组成的集合。每个群元素 都引起Ωk的一个置换: 。于是 G 作用于集合Ωk上。把 G 看成Ωk上的置换群,如果是传递群,则说 G 在Ω 是 k 重传递的(k-transitive)。一个等价的说法是:群 G 在Ω 是 k 重传递的,如果对 Ω 的任意的 k 个不同的点 和任意的 k 个不同的点 ,G 中都有一个元素 g 使得 同时成立。由此知前面所说的 G 在Ω 上传递实际上就是 G 在Ω 上是1重传递的。2重传递群也称双传递群。习惯上当k>1时,k重传递群称为多重传递群。k>1时Ω 上的 k 重传递群也是 重传递群。若 G 是Ω 上的 k 重传递群,则 G 的阶是 的倍数,这里 n 为Ω 的长度。若 ,则Sym(Ω)是Ω 上的 n 重传递群。而当 时,Alt(Ω)是Ω 上的 重传递群。
对多重传递群的研究从来是置换群理论的最重要的课题。背景是,虽然当 时,存在无穷多个 k 重传递群,但是,除去对称群和交错群外,人们只知道四个4重传递群,即马蒂厄群 和 ,这里 和 是5重传递群。在有限单群分类定理获证之后,人们才知道确实不存在其他的4重和5重传递群。利用单群分类定理,人们已经可以不遗漏地罗列出所有的2重传递群。
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