伯努利双纽线

数学术语

关于伯努利双纽线的描述首见于1694年雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理。椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹。而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹。当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线。伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意。伯努利双纽线在科技和轻工业领域也得到了广泛应用，伯努利还将伯努利双纽线应用于赌博术中。

简介

伯努利双纽线，也称双纽线，关于它的描述首见于 1694 年，雅各布· 伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理。设定线段长度为2a，若动点M满足，那么M的轨迹称为伯努利双纽线。双纽线可通过等轴双曲线经过反演得到，即它是双曲线关于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。伯努利双纽线是卡西尼卵形线和正弦螺线等曲线的特殊情况，这就意味着伯努利双纽线在沟通各曲线研究上起到了重要的作用，因此对于伯努利双曲线的探讨显得尤为重要和迫切。双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位，对于伯努利双纽线的研究有助于我们更好地研究其他相关曲线，达到触类旁通的效果。伯努利双纽线在轻工业和科技方面都得到广泛而恰到好处的应用，因此，对于伯努利双纽线的研究是很有现实意义的。

双纽线是函数图形，不仅体现了数学美的对称、和谐、抽象、简洁、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素。双纽线函数图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，在中国8是个简单的数字，但是现代人却给了它更丰富的意思。在南方那是发财的意思，因为和汉字“发”谐音。通过双纽线的外延和内涵，在不对其变形的基础上，对双纽线函数图形进行可用图式的概括，在此基础上可以创作出许多优秀的艺术作品。

方程

在数学中，对于长度为2a的定线段，双纽线在平面直角坐标系下的方程为：

伯努利双纽线在极坐标中也有简洁的表示：

在双极坐标系，伯努利双纽线的方程也类似：

性质

（1）在笛卡尔坐标系中，伯努利双纽线关于坐标原点对称，坐标原点是具有切线 y=±x 的结点和拐点。从伯努利双纽线上任何一点 M到给定的两点的距离之积，等于之间的距离的平方。曲线的形状类似于打横的阿拉伯数字 8 或者无穷大的符号。

（2）伯努利双纽线的曲率在直角坐标系中可以表示为：

（3）伯努利双纽线的曲率半径为：

（4）伯努利双纽线每个回线围成的面积为：

应用

（1）在纺织中的应用：伯努利双纽线在纺织中作为花纹得到广泛应用，用双纽线编织的布料外形美观，结构紧密，具有重复性和渐变性。

（2）在增压器中的应用：伯努利双纽线无撞击双进气拓宽流量增压器在工业中得到广泛应用。

（3）在赌博术中的应用：在雅各布·伯努利的《猜度术》一书中，将伯努利双纽线广泛应用到赌博术中。

可用图式

重复型

重复构图是同一形象以类同方式多次出现，利用大自然和人类生活中的重复现象，从中产生快意和秩序感。自然界中固有的和人工造成的重复很多，如双生子；永不休止的海浪拍岸；体育比赛中录像重放；建筑中门、窗和柱饰的重复；层层梯田等。

如图1所示，运用重复构图对双纽线函数图形进行重复构图，可在纺织品中用作花边或底纹进行修饰，从而增加趣味和美感。

渐次型

渐次就是连续出现的群体形象的变化。表现出同方向的递增和递减，具有一定的规律性，比如：向水中投石所形成的水环；公路上电线杆由于透视关系所产生的渐次；中国古塔建筑中每一层相同的飞檐的递减关系等。每一次的渐次变化不能太大，太大了不是渐次，太小了又形成了重复，关键在一个“递”字。在构图中各种形象关系由上——下、多——少、大——小、强——弱的渐次均可入画，黑——白、实——虚、冷——暖的渐次均可入画。

渐次型构图方式在现代纺织中运用的越来越多，视觉上容易给人秩序的美感，运用双纽线函数图形进行渐变构图，能在众多纺织品中突显。如图3所示。

对称型

轴的两边或周围的形象对应等同。对称构图分整体对称和局部对称。整体对称指大形骨架对称，局部对称指一些细节对称。要注意对称的微妙变化，如形象的对称置换，方位颠倒，体量的调整等。在纺织品中，对称型的构图非常普遍。如图3，双纽线函数图形本身就具有对称的美感，在其本身就可做出对称的多种形式，适用于纺织品中。

重叠型

形体与形体之间的重叠，有时形成一个新的重合形象，有时是互不影响的两个或两个以上的形象同在一个构图中透叠存在。重叠后可理解为上下、前后的关系。重叠不能没有，否则没有层次。但不能太多，重叠太多，遮遮掩掩就会使形象和结构混乱而不清晰。当大面积重叠形象轮廓和结构不清晰时，也可采用“透叠”处理，透叠手法即形象与形象之间互相透明重叠，形成新的装饰图形。透叠效果可打破大面积黑影而造成的沉闷，增加黑白或色彩层次，活跃画面气氛。如图4，通过对双纽线函数图形进行旋转式重叠，构成一个花式图形，在纺织品中能增加其视觉效果。

发射型

发射是一种特殊的重复，是双纽线函数图形环绕一个或多个中心点向外散开或向内集中。自然界盛开的花朵就属于发射的形状。另外，发射也可以说是一种特殊的渐变。它同渐变一样，双纽线函数图形要作有序的变化。但是，发射有两个显著的特征：

（1）发射具有很强的聚焦，这个焦点通常位于画面的中央；

（2）发射有一种深邃的空间感，光学的动感，使所有的图形向中心集中或者由中心向四周扩散。

如图5，是由双纽线函数图形组合成发射型图式，这种类型图式在民族纺织的运用较多，其视觉冲击力强。

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