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伯努利数

数学术语

伯努利数是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数。在数学上，伯努利数是一个有理数数列，在许多领域都有很大的应用。一般地，n>=1时,有B(2n+1)=0；n>=2时,有公式B(n)=∑[C(k,n)*B(k)](k:0->n)可用来逐一计算伯努利数。伯努利数在数论中很有用。伯努利数还可用于费马大定理的论证中。

定义
在数学上，伯努利数是一个有理数数列，在许多领域都有很大的应用。其定义方式也是多种多样，最常见的有以下两种定义方式。
生成函数定义
设伯努利数为 ，他用很多种定义方式，其中利用生成函数定义为：
这里 。，利用生成函数定义，我们可以计算前9项伯努利数。列举如下：
注意到，当 为奇数的时候，除了 以外，其余都是0。
（其中 在某些书本上采用 ，只需将生成函数改为 ）
递归定义
利用递归定义伯努利数：
其中 表示当 时，取1，其余取0。 。
解释
一般地，n≥1时，有 ;n≥2时，有公式 可用来逐一计算伯努利数。伯努利数在数论中很有用。例如，对于佩尔方程-=-4（≡1(mod4）是素数），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解满足，1960年，L.J.莫德尔证明了在≡5(mod8）时，S.乔拉证明了在≡1（mod8）时，上述猜想等价于伯努利数B（（p-1）/2）的分子不被整除。伯努利数还可用于费马大定理的论证中。设n>3，如果伯努利数B,B，…，B（
重要应用
求前n项和
在求前n项和的方法上，利用Bernoulli生成函数的定义，我们可以得出一般的p次方前n项和公式，自然，在证明过程中伯努利数有重大的作用。
要求下式的前n项和：
如:
下面我们来推导一般公式：
注意到伯努利数的生成函数定义，我们有：
对照系数即得：
证毕。
判别素数
德国数学家E.E.库默尔证明了：当为正规素数时，费马大定理成立。不难计算当3<<100时，除开37,59,67以外，其余的素数都是正规素数。因此，在费马大定理的研究中，库默尔的结果是一项突破性的工作（见不定方程）。尽管有许多判别正规素数的法则，但是，是否有无穷多个正规素数，尚未解决。而非正规素数有无穷多个，早在1915年就被人们所证明。
根据等幂和与判别素数的充要条件，获得了伯努利数与判别素数的充要条件，并利用所得结果对居加猜想进行了讨论，证明了：若（P－1）≡－1（modp）成立，则P是素数或者P=P1、P2…PS是绝对伪素数，并且P||的分母，P|（P||+1）的分子；≡1（mod）；1/－1/P是整数；在2≤2m≤（p/5－1）内必存在偶数2m，使得对每个均有－1|2m，P|的分母，P|（P+1）的分子。
c++代码
double Bernoulli(int x)//伯努利数
{
int k=x;
double B=0;
if(x==0)
{
return 1;
}
else
{
if(x>1&&x%2==1)
{
return 0;
}
else
{
while(k)
{
k--;
B += -1.0 * ( Factorial(x) * Bernoulli(k) )/( Factorial(x-k) * Factorial(k) * (x-k+1) ) ;
}
return B;
}
}
}
double Factorial(int x)//阶乘
{
if(x==1||x==0)
return 1;
else
return 1.0*x*Factorial(x-1);
}
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