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伯诺里方程

理想流体定常流动的动力学方程

伯诺里方程即伯努利方程，又称恒定流能量方程，是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。

恒定流理想液体元流能量方程
在理想液体（=0）中沿流线取坐标轴s，从中取微元隔离体分析。其长为ds，微段过水断面积为dA，倾角为α，微元隔离体沿流线方向所受外力为Fs，加速度为，对于恒定流有
按牛顿第二定律
（3-14）
上式称为恒定流理想液体元流欧拉运动微分方程。它是牛顿第二定律在流体力学中的表达式。对公式（3-14）积分，得
（3-15）
上式称为恒定流不可压缩理想液体元流能量方程。又称为恒定流不可压缩理想液体元流伯诺里方程，简称理想液体元流能量方程或伯诺里方程。它反映了液流沿流线z、三者的关系。
其几何意义和物理意义有：
z——计算点距基准面0～0的位置高度，称为位置水头，表征单位重量液体的位置势能，简称单位位能；
——测压管中水面距计算点的压强高度，称为压强水头，表征单位重量液体的压力势能，简称单位压能；
——测压管水面距基准面0～0的高度，又称为测压管水头，表征单位重量液体的总势能，简称单位总势能；
——其量纲为[L]，为流速所转化的高度，即不计射流本身重量及空气阻力时，以速度可喷射的铅垂高度，称为流速水头。因有
可见流速水头所表征的是单位重量液体所具有的动能，简称单位动能。
令
（3-16）
式中H称为总水头，表征计算点单位重量液体所具有的总能量；Hp称为测压管水头，表征计算单位重量液体所具有的总势能：
表明理想液体元流的单位总能沿程（沿流线）守恒；其总水头线为一水平线。
测压管水头线因受流速影响，沿程则可有升有降。当液体沿流线作加速运动时，Hp沿程减小，测压管水头线沿程下降；当液体沿流线作减速运动时，Hp沿程增大，测压管水头线沿程上升；当液体沿流线作等速流动时，测压管水头线与总水头线平行且同为水平线。
单位长度水头线的变化值（即水头线的斜率），称为坡度。有
（3-17）
式中：J——水力坡度；
Jp——测压管坡度。
习惯认定，J＞0或Jp＞0时，水头线沿程下降，J＜0或Jp＜0时，水头线沿程上升，J=0或Jp=0时，水头线为水平线，Jp=J时，两水头线互相平行。
对于理想液体，有J=0，其中若为等速流动时，1=2==const，Jp=J=0，即总水头线与测管水头线为相互平行的水平线。
恒定流实际液体元流能量方程
设单位重量液体沿线的能量损失为，按能量守恒原理，有
（3-18）
上式即恒定流，不可压缩实际液体元流能量方程。又称为实际液体元流伯诺里方程。由公式（3-18），dH=H2－H1=，对于实际液体，H20，故
（3-19）
上式表明，实际液体的总水头线恒为一根沿程下降的曲线，但测压管水头线仍可有升有降。当液流作等速流动时，1=2==Const，测压管水头线与总水头线是两根沿程下降的平行线。
恒定流实际液体总流能量方程
设总流沿程流量不变，即Q1=Q2=Q；前后两过水断面为渐变流，过水断面的总机械能为E，两断面的能量损失加权平均值为hw，有
（3-20）
由E1=E2+E,得
(3-21)
上式即恒定流实际液体总流能量方程的基本形式。其各项的几何意义、水力学意义及能量意义如元流能量方程所述，不同之处是各项具有平均值概念。
此外，元流能量方程限用于同一流线，即前后两计算点必须取在同一流线上；而总流能量方程由于引入了断面平均流速，前后两断面的计算点可以不在同一流线上。因此，总流能量方程在应用上比元流能量方程更具有灵活性与应用性。
根据推导能量方程所作的规定，应牢记公式（3-21）如下的应用条件：
（1）流量沿程不变，即Q1=Q2=Q；
（2）恒定流，；
（3）不可压缩液体，；
（4）重力液体，X=Y=0，Z=－g；
（5）前后两计算断面必须为渐变流。因而有，但计算断面间可以有急变流存在。
公式（3-21）只是液流能量守恒原理的基本方程。当两断面间能量有输出或输出以及有流量加入或分出时，此式不适用。
其应用要点如下：
（1）计算断面的选择。计算断面必须选用渐变流或均匀流断面，并使其中的未知数最少。
（2）计算基准面的选定。两过水断面的计算点必须同取一个基准面并应使z≥0，以保证位置势能不出现负值。
（3）计算点的选定。选定的计算点应便于确定位置高度及压强。
（4）两断面的压强可用相对压强，也可用绝对压强，一般多取。但两断面必须取同种压强。
（5）两断面的过水面积A1、A2确定后，、关系由连续性方程确定。当知时，则有。
动量方程是自然界动量守恒定律在水流运动中的表达式。它和连续性方程、能量方程，通常合称为水力学的三大定律；它反映液流动量变化与固体边壁作用力的关系。常用以求解水流对边壁的作用力。　按理论力学中的质点系动量定理有：单位时间内质点系的动量变化率等于其所受外合力，可用下式表达：
（3-22）
上式为矢量式，方程式中不出现内力。
建立动量方程需通过隔离体分析其动量变化与外力的关系，而导出元流和总流的动量方程式。即：
元流动量方程的矢量式：
（3-23）
对上式积分，得总流动量方程矢量式：
（3-24）
公式（3-24）或公式（3-23）对于任一坐标轴均成立。这一特性有时可大为简化水力计算。若沿S轴写动量方程，有
（3-25）
通常将总动量方程用直角坐标三轴向的标量式表示，即
（3-26）
式中：1x, 1y, 1z为流速1在三坐标轴向的分量；
2x, 2y, 2z为流速2在三坐标轴向的分量；
顺轴向承正值，逆轴向取负值。
Fx，Fy，Fz为外合力F在三坐标轴向的分量，顺轴向取正，
逆轴向取负。
所谓外合力，是指作用于控制体（隔离体）的一切外力的矢量和。
动量方程的应用要点：
（1）必须先绘出计算流段的隔离体，标明外力的方向及所取坐标系。
（2）前后控制断面应选在渐变流断面处，断面所受的水压力才能按静水总压力规律计算，即。
（3）边壁反力R在隔离体中的方向可任意设定。若计算结果R＞0，则R所设方向一致，若R＜0，则R的方向与所设方向相反。
（4）水流对边壁的作用力R’与边壁反力R大小相等，方向相反且位于同一作用线上，这是作用力与反作用力的关系。动量方程并不能直接求得水流对边界壁面的作用力，只能通过R推求R’。
（5）液流的动量变化，只能是隔离出口断面的动量与入口断面动量之差，二者不可颠倒计算。
（6）公式（3-24）、式（3-25）及式（3-26）对实际液体与理想液体均适用。它们常与能量方程、连续性方程联立解题。工程计算一般取。
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