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伴随函子

范畴论的基本概念

伴随函子是范畴论的基本概念之一。它在同调代数等学科中有着重要应用。

定义
设A与X为范畴。从X到A的伴随对为三元组:X→A。其中F:X→A与G:A→X为函子，函数φ在给定X中对象x与A中对象a后给出双射φx,a:A(Fx,a)=X(x,Ga)，且φ(·,·):A(F·,·)=X(·,G·)对两个变量均自然。
则F称为G的左伴随函子，G称为F的右伴随函子。
性质
函子G:A→X的任意两个左伴随函子F与F'为自然同构。
函子G:A→X有左伴随函子，当且仅当函子X(x,G·)为可表示函子。
加性函子的伴随函子为加性函子。
简介
在数学研究中，人们往往通过不同的方法来比较所研究的数学对象，例如在范畴论中，利用同构和等价来刻划两个研究对象是相同和等价的，然而同构和等价都是比较强的条件，伴随函子是用更弱的条件来研究对象之间的关系。伴随函子的概念最先是由坎(Kan, D.M.)于1958年提出来的，此后伴随函子理论被广泛应用于范畴、环与模论等研究领域，正如Saunders Mac Lane宣称的那样：伴随函子无处不在，现在它已成为代数学的重要概念及工具之一。
等价定义
单位泛态射形式定义
给定两个函子F：C→D与G:D→C，自然变换η:1c→GF。F┤G称为伴随对，若对任意C∈C，D∈D，f:C→GD，存在惟一的g:FC→D，使得f=G(g)ηc。即
类似的，可以定义余单位泛态射来定义伴随。
余单位泛态射形式定义
给定两个函子F：C→D与G:D→C，自然变换δ:FG→1D。F┤G称为伴随对，若对任意C∈C，D∈D，g:FC→D，存在惟一的f:C→GD，使得g=δDF(f)。即
单位余单位形式定义
给定两个函子F：C→D与G:D→C，两个自然变换η:1c→GF，δ:FG→1D。F┤G称为伴随对，若对任意C∈C，D∈D，有下面的交换图
即δF·Fη=1F，Gδ·ηG=1G。
Hom-Set形式定义
两个函子F：C→D与G：D→C称为伴随对，若每对对象(C，D)，其中C∈C，D∈D，存在一个同构
ψ=ψC,D：D(FC,D)≅C(C,GD)。
注1：HomD(FC，D)常简记为D(FC，D)=(FC，D)D=(FC,D)。
注2：ψ是双射，且在C,D处是自然的，所以HomD(FC,D)事实上是一个双函子，对所有的f:C″→C,g:D→D′，有下面两个交换图(*)
重要例子
伴随函子在范畴论与表示论中有着广泛应用，如单子余单子、Recollement等概念都是由伴随函子给出的，下面是关于伴随函子的一个重要例子。设B∈SMR，B⊗R-是RM到SM张量函子，HomS(B,-)是SM到RMHom函子ψ:HomS(B⊗RA,C)→HomR(A,HomS(B,C))是同构态射，并且对任意α∈Hom(A,A′)，γ∈Hom(A,A′)，有交换图
因此，(B⊗R-，HomS(B,-))是一对伴随函子。
以下为左伴随函子的一些例子
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