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伴随矩阵

数学名词

伴随矩阵是由原矩阵的各个代数余子式组成的矩阵，与矩阵的逆之间有密切的联系。但是，相比于逆矩阵，伴随矩阵是一定存在的。同时，在矩阵可逆的情形下，伴随矩阵与原矩阵只相差行列式倍，这被称作伴随矩阵的“母公式”，在求解逆矩阵中有重要的作用。

基础信息
定义
取n阶方阵，那么其伴随矩阵为
其中，是方阵A中元素的代数余子式，即
是方阵A去除了第i行第j列的元素后，剩下的阶方阵的行列式。需要注意的是方阵A中第i行第j列的的代数余子式，位于方阵中的第j行第i列。
求法举例
以2阶和3阶矩阵为例。下面求矩阵
的伴随矩阵。
由定义，对于，其伴随矩阵，代入数据得.
对于，先求出其中的各代数余子式，，，，。由定义，其伴随矩阵。
基本性质
通过伴随矩阵的定义，可以验证下面的基本性质，下面式子中出现的矩阵均为至少2阶的方阵，表示矩阵A的转置。
(性质1) 对于任意方阵A，其伴随矩阵一定存在；
(性质2)
(性质3);
(性质4) 对于常数k，；
(性质5)；
(性质6) 分块阵的伴随矩阵为；分块阵的伴随矩阵为（m和n分别是A和B的阶数）。
伴随矩阵的“母公式”
一个n阶方阵A与其伴随矩阵的重要关系还包括：
其中是单位矩阵。该式又被称作伴随矩阵的“母公式”。从上式中，可以看出伴随矩阵与矩阵的逆之间有着密切的联系。对于方阵A，若可逆或者行列式，由上式即可得：
“母公式”的证明：
对于，不妨考虑。其第i行第i列的值为
其第i行第j列的值为
对于每一组i和j，考虑一个由A构造出的新矩阵——其第j行被替换为第i行的各值。那么显然这个新矩阵的行列式为0。而该矩阵沿第j行的展开式恰等于上式，即得
综合以上，便证明了。类似地可证。证毕。
“母公式”的推论：
通过母公式还可以得到下面的性质。下面式子中出现的矩阵均为n阶可逆方阵。
(性质7)；
(性质8) 方阵可逆其行列式值非零其伴随矩阵可逆；
(性质9)。
伴随矩阵的秩
设n阶方阵A，其伴随矩阵为，那么其秩
伴随矩阵的秩的证明：
若，那么𝐴可逆，从而可逆，，该情形得证。
若，那么𝐴中所有的(𝑛−1)阶子式均为0，从而可得，其伴随矩阵是零矩阵，，该情形得证。
若，那么|𝐴|=0且𝐴中存在(𝑛−1)阶子式不为0。 那么由|𝐴|=0，代入伴随矩阵的母公式得到，从而，即；由𝐴中存在(𝑛−1)阶子式不为0可知不是零矩阵，从而。综合以上即，该情形得证。
综上所述，证毕。
特征值与特征多项式
设𝑛阶可逆方阵𝐴具有特征值(𝑖=1,2,…,𝑛)，其伴随矩阵为，那么其特征值为：
伴随矩阵的特征值的证明：
若，那么,即逆矩阵的特征值是原矩阵特征值的倒数。从而： 由此即得是伴随矩阵的特征值，证毕。
事实上还可以证明，该特征值的特征向量与原矩阵对应特征值的特征向量共线。
伴随矩阵可以由原矩阵的特征多项式的系数表出。如果可逆矩阵𝐴有特征多项式
那么：
特征多项式表出伴随矩阵的证明：
首先，由凯莱-哈密顿定理可知，。 且其中的。 于是，由伴随矩阵的母公式可得:
伴随矩阵由特征多项式系数给出的形式由上述即得证。
应用举例
若矩阵,利用伴随矩阵求其逆。
解： ,于是。
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